問題は、以下の2つの三角方程式を $0 \leq x < 2\pi$ の範囲で解くことです。 (1) $\sin 2x = \sqrt{2} \sin x$ (2) $\cos 2x = 3 \cos x - 2$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの三角方程式を $0 \leq x < 2\pi$ の範囲で解くことです。

(1) $\sin 2x = \sqrt{2} \sin x$

(2) $\cos 2x = 3 \cos x - 2$

2. 解き方の手順

(1) $\sin 2x = \sqrt{2} \sin x$ を解く。

まず、2倍角の公式 $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ を使って、方程式を書き換える。

$2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \sin x$

次に、左辺に項をまとめて $\sin x$ で括る。

$2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \sin x = 0$

$\sin x (2 \cos x - \sqrt{2}) = 0$

したがって、$\sin x = 0$ または $2 \cos x - \sqrt{2} = 0$ である。

$\sin x = 0$ のとき、$x = 0, \pi$ である。

$2 \cos x - \sqrt{2} = 0$ より、$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。

$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ である。

(2) $\cos 2x = 3 \cos x - 2$ を解く。

2倍角の公式 $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ を使って、方程式を書き換える。

$2 \cos^2 x - 1 = 3 \cos x - 2$

次に、右辺の項を左辺にまとめて整理する。

$2 \cos^2 x - 3 \cos x + 1 = 0$

$\cos x = t$ とおくと、$2t^2 - 3t + 1 = 0$ となる。

これを因数分解すると、$(2t - 1)(t - 1) = 0$

したがって、$t = 1$ または $t = \frac{1}{2}$ である。

つまり、$\cos x = 1$ または $\cos x = \frac{1}{2}$ である。

$\cos x = 1$ のとき、$x = 0$ である。

$\cos x = \frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, \pi, \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

(2) $x = 0, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$