$\left(x - \frac{1}{2x}\right)^{100}$ を展開したときの $x^{96}$ の係数を求める問題です。ただし、$x \neq 0$ とします。

1. 問題の内容

$\left(x - \frac{1}{2x}\right)^{100}$ を展開したときの $x^{96}$ の係数を求める問題です。ただし、$x \neq 0$ とします。

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理より、

$\left(x - \frac{1}{2x}\right)^{100} = \sum_{k=0}^{100} {100 \choose k} x^{100-k} \left(-\frac{1}{2x}\right)^k = \sum_{k=0}^{100} {100 \choose k} x^{100-k} \left(-\frac{1}{2}\right)^k x^{-k} = \sum_{k=0}^{100} {100 \choose k} \left(-\frac{1}{2}\right)^k x^{100-2k}$

$x^{96}$ の係数を求めるので、指数が $96$ となる $k$ を探します。

$100-2k = 96$

$2k = 4$

$k = 2$

よって、$x^{96}$ の係数は、$k=2$ のときの項です。

${100 \choose 2} \left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{100 \times 99}{2 \times 1} \times \frac{1}{4} = 50 \times 99 \times \frac{1}{4} = 25 \times 99 \times \frac{1}{2} = \frac{2475}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{2475}{2}$