$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ のとき、$x + \frac{1}{x}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の逆数である $\frac{1}{x}$ を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{5} + 1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5} + 1}$

次に、$\frac{1}{x}$ の分母を有理化します。分母と分子に $\sqrt{5} - 1$ を掛けます。

$\frac{1}{x} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{5 - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

最後に、$x + \frac{1}{x}$ を計算します。

$x + \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{(\sqrt{5} + 1) + (\sqrt{5} - 1)}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{5}$