2次不等式 $-x^2 + mx + m < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

## 練習42

1. 問題の内容

2次不等式 $-x^2 + mx + m < 0$ の解がすべての実数であるとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式の両辺に $-1$ を掛けて、

$x^2 - mx - m > 0$

とする。

この不等式の解がすべての実数であるということは、2次関数 $y = x^2 - mx - m$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあるということである。

つまり、この2次関数は実数解を持たない。

これは、判別式 $D$ が $D < 0$ を満たすことを意味する。

判別式 $D$ は、

$D = (-m)^2 - 4(1)(-m) = m^2 + 4m$

となる。

$D < 0$ より、

$m^2 + 4m < 0$

$m(m+4) < 0$

この不等式を解くと、$-4 < m < 0$ となる。

3. 最終的な答え

$-4 < m < 0$

## 練習43

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - mx + 2m - 3$ において、$y$ の値が常に正であるように、定数 $m$ の値の範囲を定める。

2. 解き方の手順

$y$ の値が常に正であるということは、2次関数 $y = x^2 - mx + 2m - 3$ のグラフが常に $x$ 軸より上にあるということである。

つまり、この2次関数は実数解を持たない。

これは、判別式 $D$ が $D < 0$ を満たすことを意味する。

判別式 $D$ は、

$D = (-m)^2 - 4(1)(2m - 3) = m^2 - 8m + 12$

となる。

$D < 0$ より、

$m^2 - 8m + 12 < 0$

$(m-2)(m-6) < 0$

この不等式を解くと、$2 < m < 6$ となる。

3. 最終的な答え

$2 < m < 6$