不等式 $\sqrt{x+1} > -x+5$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+1} > -x+5$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、根号の中が0以上である条件が必要です。

$x+1 \geq 0$ より、 $x \geq -1$ 。

次に、不等式の両辺を2乗することを考えます。

ただし、両辺の符号によって場合分けが必要です。

(i) $-x+5 < 0$ のとき、つまり $x>5$ のとき、$\sqrt{x+1}$ は常に0以上なので、不等式は常に成立します。したがって、$x>5$ は解となります。

(ii) $-x+5 \geq 0$ のとき、つまり $x \leq 5$ のとき、両辺を2乗して、

$(\sqrt{x+1})^2 > (-x+5)^2$

$x+1 > x^2 -10x + 25$

$0 > x^2 -11x + 24$

$x^2 -11x + 24 < 0$

$(x-3)(x-8) < 0$

よって、$3 < x < 8$。

この解は、$x \leq 5$ という条件と、$x \geq -1$ という条件を満たす必要があります。

$3 < x < 8$ と $x \leq 5$ の共通範囲は $3 < x \leq 5$。

$3 < x \leq 5$ と $x \geq -1$ の共通範囲は $3 < x \leq 5$。

したがって、(i)と(ii)の結果を合わせると、$x>5$ または $3 < x \leq 5$ となります。

これらを合わせると、$x>3$となります。

また、$x \geq -1$ という条件より、$x>3$ かつ $x \geq -1$ を満たす必要があるので、$x>3$ が最終的な解となります。

3. 最終的な答え

$x>3$