関数 $y = \sqrt{2x - 6}$ の定義域を $a \le x \le b$ とするとき、値域が $2 \le y \le 4$ となるような定数 $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2x - 6}$ の定義域を $a \le x \le b$ とするとき、値域が $2 \le y \le 4$ となるような定数 $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sqrt{2x - 6}$ のグラフの形を確認します。

この関数は $2x - 6 \ge 0$、つまり $x \ge 3$ で定義されます。

また、この関数は $x$ が増加すると $y$ も増加する単調増加関数です。

次に、与えられた値域 $2 \le y \le 4$ から、$x$ の範囲を求めます。

$y = 2$ のとき、

$2 = \sqrt{2x - 6}$

両辺を2乗して、

$4 = 2x - 6$

$2x = 10$

$x = 5$

$y = 4$ のとき、

$4 = \sqrt{2x - 6}$

両辺を2乗して、

$16 = 2x - 6$

$2x = 22$

$x = 11$

したがって、$a = 5$, $b = 11$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 5$

$b = 11$