必要条件と十分条件に関する以下の4つの問題に答えます。 (1) $x^2 = 5$ は、$x$ が無理数であるための何条件か。 (2) 四角形ABCDが平行四辺形であることは、四角形ABCDが長方形であるための何条件か。 (3) A, B を2つの集合とするとき、$a$ が $A \cap B$ の要素であることは、$a$ が $A$ の要素であるための何条件か。 (4) $|x + 1| = 2$ は、$ (x - 1)(x + 3) = 0$ であるための何条件か。 選択肢は次の通りです。 1. 必要条件であるが十分条件でない

1. 問題の内容

必要条件と十分条件に関する以下の4つの問題に答えます。

(1) $x^2 = 5$ は、$x$ が無理数であるための何条件か。

(2) 四角形ABCDが平行四辺形であることは、四角形ABCDが長方形であるための何条件か。

(3) A, B を2つの集合とするとき、$a$ が $A \cap B$ の要素であることは、$a$ が $A$ の要素であるための何条件か。

(4) $|x + 1| = 2$ は、$(x - 1)(x + 3) = 0$ であるための何条件か。

選択肢は次の通りです。

1. 必要条件であるが十分条件でない

2. 十分条件であるが必要条件でない

3. 必要十分条件である

4. 必要条件でも十分条件でもない

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = 5$ ならば、$x = \pm \sqrt{5}$ となり、$x$ は無理数です。

逆に、$x$ が無理数でも、$x^2 = 5$ とは限りません（例：$x = \sqrt{2}$）。

したがって、$x^2 = 5$ は、$x$ が無理数であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

よって、選択肢 2 が該当します。

(2) 四角形ABCDが長方形ならば、平行四辺形です。

逆に、四角形ABCDが平行四辺形でも、長方形とは限りません。

したがって、四角形ABCDが平行四辺形であることは、四角形ABCDが長方形であるための必要条件ですが、十分条件ではありません。

よって、選択肢 1 が該当します。

(3) $a$ が $A \cap B$ の要素であるならば、$a$ は $A$ の要素です。

逆に、$a$ が $A$ の要素であるならば、$a$ が $A \cap B$ の要素とは限りません（$a$ が $B$ の要素でない場合）。

したがって、$a$ が $A \cap B$ の要素であることは、$a$ が $A$ の要素であるための十分条件ですが、必要条件ではありません。

よって、選択肢 2 が該当します。

(4) $|x + 1| = 2$ を解くと、$x + 1 = 2$ または $x + 1 = -2$ より、$x = 1$ または $x = -3$ となります。

$(x - 1)(x + 3) = 0$ を解くと、$x = 1$ または $x = -3$ となります。

したがって、$|x + 1| = 2$ であることと、$(x - 1)(x + 3) = 0$ であることは同値です。

よって、$|x + 1| = 2$ は、$(x - 1)(x + 3) = 0$ であるための必要十分条件です。

よって、選択肢 3 が該当します。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1

(3) 2

(4) 3