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与えられた連立方程式をクラメルの公式を用いて解きます。問題は以下の4つです。 (1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}$ (3) $\begin{cases} 3x + y + 3z = 1 \\ -y + 2z = 2 \\ x - z = -2 \end{cases}$ (4) $\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

代数学連立方程式クラメルの公式行列式
2025/7/15
## 回答

1. 問題の内容

与えられた連立方程式をクラメルの公式を用いて解きます。問題は以下の4つです。
(1) (12−2−1)(xy)=(−43)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \end{pmatrix}
(2) {3x+2y=0x−2y=8\begin{cases} 3x + 2y = 0 \\ x - 2y = 8 \end{cases}
(3) {3x+y+3z=1−y+2z=2x−z=−2\begin{cases} 3x + y + 3z = 1 \\ -y + 2z = 2 \\ x - z = -2 \end{cases}
(4) (23−1−12211−1)(xyz)=(−31−2)\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

クラメルの公式は、連立一次方程式の解を、係数行列の行列式と、係数行列の一つの列を定数項で置き換えた行列の行列式を用いて表すものです。
(1)
係数行列の行列式 DD は、
D=∣12−2−1∣=(1)(−1)−(2)(−2)=−1+4=3D = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (2)(-2) = -1 + 4 = 3
xx を求めるために、係数行列の1列目を定数項で置き換えた行列の行列式 DxD_x を計算します。
Dx=∣−423−1∣=(−4)(−1)−(2)(3)=4−6=−2D_x = \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} = (-4)(-1) - (2)(3) = 4 - 6 = -2
yy を求めるために、係数行列の2列目を定数項で置き換えた行列の行列式 DyD_y を計算します。
Dy=∣1−4−23∣=(1)(3)−(−4)(−2)=3−8=−5D_y = \begin{vmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} = (1)(3) - (-4)(-2) = 3 - 8 = -5
したがって、x=DxD=−23x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{3}、 y=DyD=−53y = \frac{D_y}{D} = \frac{-5}{3}
(2)
連立方程式を行列で表すと、
(321−2)(xy)=(08)\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \end{pmatrix}
係数行列の行列式 DD は、
D=∣321−2∣=(3)(−2)−(2)(1)=−6−2=−8D = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (3)(-2) - (2)(1) = -6 - 2 = -8
xx を求めるために、係数行列の1列目を定数項で置き換えた行列の行列式 DxD_x を計算します。
Dx=∣028−2∣=(0)(−2)−(2)(8)=0−16=−16D_x = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 8 & -2 \end{vmatrix} = (0)(-2) - (2)(8) = 0 - 16 = -16
yy を求めるために、係数行列の2列目を定数項で置き換えた行列の行列式 DyD_y を計算します。
Dy=∣3018∣=(3)(8)−(0)(1)=24−0=24D_y = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 8 \end{vmatrix} = (3)(8) - (0)(1) = 24 - 0 = 24
したがって、x=DxD=−16−8=2x = \frac{D_x}{D} = \frac{-16}{-8} = 2、y=DyD=24−8=−3y = \frac{D_y}{D} = \frac{24}{-8} = -3
(3)
連立方程式を行列で表すと、
(3130−1210−1)(xyz)=(12−2)\begin{pmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}
係数行列の行列式 DD は、
D=∣3130−1210−1∣=3∣−120−1∣−1∣021−1∣+3∣0−110∣=3(1−0)−1(0−2)+3(0−(−1))=3+2+3=8D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3(1 - 0) - 1(0 - 2) + 3(0 - (-1)) = 3 + 2 + 3 = 8
Dx=∣1132−12−20−1∣=1∣−120−1∣−1∣22−2−1∣+3∣2−1−20∣=1(1−0)−1(−2−(−4))+3(0−2)=1−2−6=−7D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = 1(1-0) - 1(-2-(-4)) + 3(0-2) = 1 - 2 - 6 = -7
Dy=∣3130221−2−1∣=3∣22−2−1∣−1∣021−1∣+3∣021−2∣=3(−2−(−4))−1(0−2)+3(0−2)=6+2−6=2D_y = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 3(-2-(-4)) - 1(0-2) + 3(0-2) = 6 + 2 - 6 = 2
Dz=∣3110−1210−2∣=3∣−120−2∣−1∣021−2∣+1∣0−110∣=3(2−0)−1(0−2)+1(0−(−1))=6+2+1=9D_z = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3(2-0) - 1(0-2) + 1(0-(-1)) = 6 + 2 + 1 = 9
したがって、x=DxD=−78x = \frac{D_x}{D} = \frac{-7}{8}、y=DyD=28=14y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}、z=DzD=98z = \frac{D_z}{D} = \frac{9}{8}
(4)
係数行列の行列式 DD は、
D=∣23−1−12211−1∣=2∣221−1∣−3∣−121−1∣+(−1)∣−1211∣=2(−2−2)−3(1−2)−1(−1−2)=2(−4)−3(−1)−1(−3)=−8+3+3=−2D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-2 - 2) - 3(1-2) - 1(-1-2) = 2(-4) - 3(-1) - 1(-3) = -8 + 3 + 3 = -2
Dx=∣−33−1122−21−1∣=−3∣221−1∣−3∣12−2−1∣+(−1)∣12−21∣=−3(−2−2)−3(−1−(−4))−1(1−(−4))=−3(−4)−3(3)−1(5)=12−9−5=−2D_x = \begin{vmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -3 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -3(-2-2) - 3(-1-(-4)) - 1(1-(-4)) = -3(-4) - 3(3) - 1(5) = 12 - 9 - 5 = -2
Dy=∣2−3−1−1121−2−1∣=2∣12−2−1∣−(−3)∣−121−1∣+(−1)∣−111−2∣=2(−1−(−4))+3(1−2)−1(2−1)=2(3)+3(−1)−1(1)=6−3−1=2D_y = \begin{vmatrix} 2 & -3 & -1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} - (-3) \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 2(-1-(-4)) + 3(1-2) - 1(2-1) = 2(3) + 3(-1) - 1(1) = 6 - 3 - 1 = 2
Dz=∣23−3−12111−2∣=2∣211−2∣−3∣−111−2∣+(−3)∣−1211∣=2(−4−1)−3(2−1)−3(−1−2)=2(−5)−3(1)−3(−3)=−10−3+9=−4D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - 3 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} + (-3) \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(-4-1) - 3(2-1) - 3(-1-2) = 2(-5) - 3(1) - 3(-3) = -10 - 3 + 9 = -4
したがって、x=DxD=−2−2=1x = \frac{D_x}{D} = \frac{-2}{-2} = 1、y=DyD=2−2=−1y = \frac{D_y}{D} = \frac{2}{-2} = -1、z=DzD=−4−2=2z = \frac{D_z}{D} = \frac{-4}{-2} = 2

3. 最終的な答え

(1) x=−23x = -\frac{2}{3}, y=−53y = -\frac{5}{3}
(2) x=2x = 2, y=−3y = -3
(3) x=−78x = -\frac{7}{8}, y=14y = \frac{1}{4}, z=98z = \frac{9}{8}
(4) x=1x = 1, y=−1y = -1, z=2z = 2

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