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与えられた連立一次方程式を掃き出し法で解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。 $ \begin{cases} 2x - 3y + z = 11 \\ 3x + 3y - 6z = -21 \\ 4x + 2y - 3z = -9 \end{cases} $

代数学連立一次方程式掃き出し法行列
2025/7/14
## 問題 60.1

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法で解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。
\begin{cases}
2x - 3y + z = 11 \\
3x + 3y - 6z = -21 \\
4x + 2y - 3z = -9
\end{cases}

2. 解き方の手順

掃き出し法を使って、この連立一次方程式を解きます。
(1) 拡大係数行列を作成します。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
2 & -3 & 1 & 11 \\
3 & 3 & -6 & -21 \\
4 & 2 & -3 & -9
\end{array}
\right]
(2) 1行目を2で割ります。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\
3 & 3 & -6 & -21 \\
4 & 2 & -3 & -9
\end{array}
\right]
(3) 2行目から1行目の3倍を引きます。3行目から1行目の4倍を引きます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\
0 & \frac{15}{2} & -\frac{15}{2} & -\frac{75}{2} \\
0 & 8 & -5 & -31
\end{array}
\right]
(4) 2行目を152\frac{15}{2}で割ります。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\
0 & 1 & -1 & -5 \\
0 & 8 & -5 & -31
\end{array}
\right]
(5) 3行目から2行目の8倍を引きます。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\
0 & 1 & -1 & -5 \\
0 & 0 & 3 & 9
\end{array}
\right]
(6) 3行目を3で割ります。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{11}{2} \\
0 & 1 & -1 & -5 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}
\right]
(7) 1行目から3行目の12\frac{1}{2}倍を引きます。2行目に3行目を足します。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -\frac{3}{2} & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}
\right]
(8) 1行目に2行目の32\frac{3}{2}倍を足します。
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -2 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}
\right]

3. 最終的な答え

x=1x = 1, y=−2y = -2, z=3z = 3
## 問題 60.2

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法で解く問題です。連立一次方程式は以下の通りです。
\begin{cases}
x + 3z + 2w = -1 \\
3y + z + w = 2 \\
2x + y - 2w = 5 \\
-2x - 3z + w = 7
\end{cases}

2. 解き方の手順

掃き出し法を使って、この連立一次方程式を解きます。
(1) 拡大係数行列を作成します。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & 0 & -2 & 5 \\
-2 & 0 & -3 & 1 & 7
\end{array}
\right]
(2) 3行目から1行目の2倍を引きます。4行目に1行目の2倍を足します。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -6 & -6 & 7 \\
0 & 0 & 3 & 5 & 5
\end{array}
\right]
(3) 2行目と3行目を入れ替えます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -6 & -6 & 7 \\
0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 3 & 5 & 5
\end{array}
\right]
(4) 3行目から2行目の3倍を引きます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -6 & -6 & 7 \\
0 & 0 & 19 & 19 & -19 \\
0 & 0 & 3 & 5 & 5
\end{array}
\right]
(5) 3行目を19で割ります。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\
0 & 1 & -6 & -6 & 7 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 3 & 5 & 5
\end{array}
\right]
(6) 1行目から3行目の3倍を引きます。2行目に3行目の6倍を足します。4行目から3行目の3倍を引きます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 8
\end{array}
\right]
(7) 4行目を2で割ります。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4
\end{array}
\right]
(8) 1行目に4行目を足します。3行目から4行目を引きます。
\left[
\begin{array}{cccc|c}
1 & 0 & 0 & 0 & 6 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & -5 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 4
\end{array}
\right]

3. 最終的な答え

x=6x = 6, y=1y = 1, z=−5z = -5, w=4w = 4

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