以下の連立1次方程式を掃き出し法で解く。 $ \begin{cases} x + 3z + 2w = -1 \\ 3y + z + w = 2 \\ 2x + y - 2w = 5 \\ -2x - 3z + w = 7 \end{cases} $

1. 問題の内容

以下の連立1次方程式を掃き出し法で解く。

$$

\begin{cases}

x + 3z + 2w = -1 \\

3y + z + w = 2 \\

2x + y - 2w = 5 \\

-2x - 3z + w = 7

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

まず、拡大係数行列を作成する。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\

0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\

2 & 1 & 0 & -2 & 5 \\

-2 & 0 & -3 & 1 & 7

\end{bmatrix}

$$

次に、掃き出し法を用いて簡約化する。

3行目から1行目の2倍を引く($R_3 \rightarrow R_3 - 2R_1$)。

4行目に1行目の2倍を加える($R_4 \rightarrow R_4 + 2R_1$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\

0 & 3 & 1 & 1 & 2 \\

0 & 1 & -6 & -6 & 7 \\

0 & 0 & 3 & 5 & 5

\end{bmatrix}

$$

2行目を3で割る($R_2 \rightarrow \frac{1}{3}R_2$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\

0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\

0 & 1 & -6 & -6 & 7 \\

0 & 0 & 3 & 5 & 5

\end{bmatrix}

$$

3行目から2行目を引く($R_3 \rightarrow R_3 - R_2$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\

0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\

0 & 0 & -\frac{19}{3} & -\frac{19}{3} & \frac{19}{3} \\

0 & 0 & 3 & 5 & 5

\end{bmatrix}

$$

3行目を$-\frac{3}{19}$倍する($R_3 \rightarrow -\frac{3}{19} R_3$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 3 & 2 & -1 \\

0 & 1 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\

0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 3 & 5 & 5

\end{bmatrix}

$$

1行目から3行目の3倍を引く($R_1 \rightarrow R_1 - 3R_3$)。

2行目から3行目の$\frac{1}{3}$倍を引く($R_2 \rightarrow R_2 - \frac{1}{3}R_3$)。

4行目から3行目の3倍を引く($R_4 \rightarrow R_4 - 3R_3$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 2 & 8

\end{bmatrix}

$$

4行目を2で割る($R_4 \rightarrow \frac{1}{2} R_4$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & -1 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 4

\end{bmatrix}

$$

1行目に4行目を加える($R_1 \rightarrow R_1 + R_4$)。

3行目から4行目を引く($R_3 \rightarrow R_3 - R_4$)。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 & 6 \\

0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\

0 & 0 & 1 & 0 & -5 \\

0 & 0 & 0 & 1 & 4

\end{bmatrix}

$$

したがって、$x=6$, $y=1$, $z=-5$, $w=4$.

3. 最終的な答え

$x = 6, y = 1, z = -5, w = 4$