$a$ は正の定数とする。 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ について、以下の問いに答える。 (1) 最大値を求めよ。 (2) 最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。 $0 \le x \le a$ における関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ について、以下の問いに答える。

(1) 最大値を求めよ。

(2) 最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 最大値を求める。

まず、関数 $f(x) = -x^2 + 6x$ を平方完成する。

$f(x) = -(x^2 - 6x) = -(x^2 - 6x + 9 - 9) = -(x - 3)^2 + 9$

よって、この関数は $x = 3$ で最大値 $9$ をとる上に凸の放物線である。定義域は $0 \le x \le a$ である。

場合分けを行う。

(i) $0 < a < 3$ のとき、最大値は $f(0)=0$ と $f(a)=-a^2+6a$ の大きい方である。$f(0)=0$ なので、$f(a)=-a^2+6a$ が最大値となる。

(ii) $a = 3$ のとき、最大値は $f(3) = 9$ である。

(iii) $a > 3$ のとき、最大値は $f(3) = 9$ である。

したがって、

$0 < a \le 3$ のとき、 $f(x)$ の最大値は $9$ である。

$a > 3$ のとき、$f(x)$ の最大値は $9$ である。

まとめると、

(i) $0 < a < 3$ のとき、定義域の範囲では、$x=a$で最大値$f(a)=-a^2+6a$を取る。$a=3$のとき、$f(a)=9$

(ii) $a \ge 3$ のとき、頂点$x=3$が定義域に含まれるので、$x=3$で最大値$f(3)=9$を取る。

(2) 最小値を求める。

$f(x) = -(x-3)^2 + 9$ であり、$0 \le x \le a$ である。

場合分けを行う。

(i) $0 < a \le 3$ のとき、最小値は $x = 0$ で $f(0) = 0$ である。

(ii) $a > 3$ のとき、最小値は $x = a$ で $f(a) = -a^2 + 6a$ である。

3. 最終的な答え

(1) 最大値

$0 < a < 3$ のとき $-a^2 + 6a$

$a \ge 3$ のとき $9$

(2) 最小値

$0 < a \le 3$ のとき $0$

$a > 3$ のとき $-a^2 + 6a$