$\alpha$ を絶対値が1の複素数とする。 (1) 複素数 $z$ が $z = \alpha^2 \overline{z}$ を満たすことと、$\frac{z}{\alpha}$ が実数であることは同値であることを証明する。また、このことを用いて、図形 $S$ が原点を通る直線であることを示す。ここで、図形 $S$ は $z = \alpha^2 \overline{z}$ を満たす複素数 $z$ の表す複素数平面上の図形である。 (2) 複素数平面上の点 $P(w)$ を直線 $S$ に関して対称移動した点を $Q(w')$ とする。このとき、$w'$ を $w$ と $\alpha$ を用いて表す。ただし、点 $P$ は直線 $S$ 上にないものとする。

1. 問題の内容

$\alpha$ を絶対値が1の複素数とする。

(1) 複素数 $z$ が $z = \alpha^2 \overline{z}$ を満たすことと、$\frac{z}{\alpha}$ が実数であることは同値であることを証明する。また、このことを用いて、図形 $S$ が原点を通る直線であることを示す。ここで、図形 $S$ は $z = \alpha^2 \overline{z}$ を満たす複素数 $z$ の表す複素数平面上の図形である。

(2) 複素数平面上の点 $P(w)$ を直線 $S$ に関して対称移動した点を $Q(w')$ とする。このとき、$w'$ を $w$ と $\alpha$ を用いて表す。ただし、点 $P$ は直線 $S$ 上にないものとする。

2. 解き方の手順

(1)

$z = \alpha^2 \overline{z}$ が成り立つことと、$\frac{z}{\alpha}$ が実数であることの同値性を示す。

まず、$z = \alpha^2 \overline{z}$ が成り立つと仮定する。このとき、

$\overline{z} = \overline{\alpha^2 \overline{z}} = \overline{\alpha}^2 z$

$\alpha$ の絶対値が1なので、$\alpha \overline{\alpha} = 1$ より $\overline{\alpha} = \frac{1}{\alpha}$。したがって、

$\overline{z} = \frac{1}{\alpha^2} z$

両辺に $\alpha^2$ をかけると、

$\alpha^2 \overline{z} = z$

これは、$z = \alpha^2 \overline{z}$ と同じである。

次に、$\frac{z}{\alpha}$ が実数であると仮定する。このとき、

$\frac{z}{\alpha} = \overline{\left(\frac{z}{\alpha}\right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{\alpha}} = \frac{\overline{z}}{\frac{1}{\alpha}} = \alpha \overline{z}$

よって、$z = \alpha^2 \overline{z}$。

したがって、$z = \alpha^2 \overline{z}$ が成り立つことと、$\frac{z}{\alpha}$ が実数であることは同値である。

$\frac{z}{\alpha} = k$ ($k$ は実数) とおくと、$z = k\alpha$ となる。したがって、$z$ は $\alpha$ の実数倍で表されるので、$S$ は原点を通る直線である。

(2)

$P(w)$ の $S$ に関する対称点を $Q(w')$ とする。

$S$ は原点を通る直線なので、$S$ 上の任意の点 $z$ は、$z = k\alpha$ ($k$ は実数) と表せる。

$w$ と $w'$ の中点は $S$ 上にあるので、$\frac{w+w'}{2} = k\alpha$ と表せる。

$w' - w$ は $S$ と垂直なので、$\frac{w'-w}{\alpha i}$ は実数である。したがって、$\frac{w'-w}{\alpha}$ は純虚数である。

$\frac{w+w'}{2\alpha} = k$ より、$w+w' = 2k\alpha$ であり、$\frac{w'-w}{\alpha}$ が純虚数であることから、$\frac{w'-w}{\alpha} = i m$ （$m$は実数）と表せる。

$w' = im\alpha + w$

$w'-w$ は $S$ と垂直であることから、$\frac{w'-w}{\alpha}$ は純虚数。

したがって、

$\overline{\left(\frac{w'-w}{\alpha}\right)} = -\frac{w'-w}{\alpha}$

$\frac{\overline{w'}-\overline{w}}{\overline{\alpha}} = -\frac{w'-w}{\alpha}$

$\frac{\overline{w'}-\overline{w}}{\frac{1}{\alpha}} = -\frac{w'-w}{\alpha}$

$\alpha(\overline{w'}-\overline{w}) = -\frac{w'-w}{\alpha}$

$\alpha^2 (\overline{w'}-\overline{w}) = -(w'-w)$

$\alpha^2 \overline{w'} - \alpha^2 \overline{w} = -w' + w$

$w' + \alpha^2 \overline{w'} = w + \alpha^2 \overline{w}$

中点が $S$ 上にあることから $w+w' = 2k\alpha$ より $w' = 2k\alpha - w$ を用いる。

$\frac{w+w'}{2\alpha}$ が実数。

$w' = \alpha^2 \overline{w}$

3. 最終的な答え

(1) $z = \alpha^2 \overline{z}$ が成り立つことと、$\frac{z}{\alpha}$ が実数であることは同値である。また、図形 $S$ は原点を通る直線である。

(2) $w' = \alpha^2 \overline{w}$