次の等式が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。 $\frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4} = \frac{x+10}{x^2+5x+4}$

1. 問題の内容

次の等式が $x$ についての恒等式であるとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めよ。

$\frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4} = \frac{x+10}{x^2+5x+4}$

2. 解き方の手順

まず、左辺を通分します。

$\frac{a}{x+1} + \frac{b}{x+4} = \frac{a(x+4) + b(x+1)}{(x+1)(x+4)}$

$(x+1)(x+4) = x^2 + 5x + 4$ なので、

$\frac{a(x+4) + b(x+1)}{x^2+5x+4} = \frac{x+10}{x^2+5x+4}$

分母が等しいので、分子も等しくなければなりません。

$a(x+4) + b(x+1) = x+10$

$ax + 4a + bx + b = x + 10$

$(a+b)x + (4a+b) = x+10$

これが恒等式であるためには、$x$ の係数と定数項がそれぞれ等しくなければなりません。したがって、次の連立方程式が得られます。

$a+b = 1$

$4a+b = 10$

この連立方程式を解きます。2番目の式から1番目の式を引くと、

$(4a+b) - (a+b) = 10-1$

$3a = 9$

$a = 3$

$a+b=1$ に $a=3$ を代入すると、

$3+b=1$

$b = 1-3$

$b = -2$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = -2$