関数 $y = -\frac{8}{x}$ のグラフに関する以下の2つの問題に答えます。 (1) グラフ上の点で、$x$座標と$y$座標がともに整数となる点は全部で何個あるか。 (2) グラフ上に点Pをとる。三角形OAPの面積が8であるとき、点Pの座標をすべて求めよ。ただし、点Aは$y$軸上の点で、その$y$座標は-8である。

1. 問題の内容

関数 $y = -\frac{8}{x}$ のグラフに関する以下の2つの問題に答えます。

(1) グラフ上の点で、$x$座標と$y$座標がともに整数となる点は全部で何個あるか。

(2) グラフ上に点Pをとる。三角形OAPの面積が8であるとき、点Pの座標をすべて求めよ。ただし、点Aは$y$軸上の点で、その$y$座標は-8である。

2. 解き方の手順

(1) $x$座標と$y$座標がともに整数となる点を求める。

$y = -\frac{8}{x}$より、$x$が8の約数のとき、$y$は整数となる。

8の約数は、1, 2, 4, 8である。また、負の約数も含むので、-1, -2, -4, -8も含まれる。

したがって、$x$の候補は、1, 2, 4, 8, -1, -2, -4, -8である。それぞれの$x$に対応する$y$の値を計算する。

$x=1$のとき、$y = -\frac{8}{1} = -8$

$x=2$のとき、$y = -\frac{8}{2} = -4$

$x=4$のとき、$y = -\frac{8}{4} = -2$

$x=8$のとき、$y = -\frac{8}{8} = -1$

$x=-1$のとき、$y = -\frac{8}{-1} = 8$

$x=-2$のとき、$y = -\frac{8}{-2} = 4$

$x=-4$のとき、$y = -\frac{8}{-4} = 2$

$x=-8$のとき、$y = -\frac{8}{-8} = 1$

よって、条件を満たす点は(1, -8), (2, -4), (4, -2), (8, -1), (-1, 8), (-2, 4), (-4, 2), (-8, 1)の8個である。

(2) 三角形OAPの面積が8となる点Pの座標を求める。

点Aの座標は(0, -8)である。点Pの座標を$(x, y)$とする。

三角形OAPの面積は、$\frac{1}{2} \times OA \times |x|$で計算できる。

$OA = |-8 - 0| = 8$なので、三角形OAPの面積は$\frac{1}{2} \times 8 \times |x| = 4|x|$となる。

面積が8であることから、$4|x| = 8$となる。

$|x| = 2$なので、$x = 2$または$x = -2$である。

$x = 2$のとき、$y = -\frac{8}{2} = -4$

$x = -2$のとき、$y = -\frac{8}{-2} = 4$

したがって、点Pの座標は(2, -4)または(-2, 4)である。

3. 最終的な答え

(1) 8個

(2) (2, -4), (-2, 4)