はい、承知いたしました。画像にある問題について、順番に解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある問題について、順番に解いていきます。

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1. 問題の内容**

1. $x^3 - x^2 - 2x + 8 = 0$ の3次方程式を解く。

2. $x^3 + x^2 - 2x = 0$ および $x^3 - 25x = 0$ の3次方程式を解く。

3. $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$ および $x^4 + 5x^2 = 0$ の4次方程式を解く。

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2. 解き方の手順**

**1.** $x^3 - x^2 - 2x + 8 = 0$

まず、この3次方程式を解くために、因数定理を利用します。$x$ に整数値を代入して、方程式が $0$ になるものを探します。$x = -2$ を代入すると、

$(-2)^3 - (-2)^2 - 2(-2) + 8 = -8 - 4 + 4 + 8 = 0$

したがって、$x = -2$ は方程式の解の一つです。つまり、$x+2$ は因数となります。多項式を $x+2$ で割ります。

$x^3 - x^2 - 2x + 8 = (x+2)(x^2 - 3x + 4)$

次に、2次方程式 $x^2 - 3x + 4 = 0$ を解きます。解の公式を使用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(4)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 16}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{3 \pm i\sqrt{7}}{2}$

したがって、3次方程式の解は $x = -2, \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$ となります。

**2.(1)** $x^3 + x^2 - 2x = 0$

この3次方程式は、まず $x$ でくくり出すことができます。

$x(x^2 + x - 2) = 0$

次に、2次方程式 $x^2 + x - 2 = 0$ を解きます。因数分解すると、

$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) = 0$

したがって、$x = -2, 1$ となります。

よって、3次方程式の解は $x = 0, -2, 1$ となります。

**2.(2)** $x^3 - 25x = 0$

この3次方程式も、まず $x$ でくくり出すことができます。

$x(x^2 - 25) = 0$

次に、$x^2 - 25 = 0$ を解きます。因数分解すると、

$x^2 - 25 = (x+5)(x-5) = 0$

したがって、$x = -5, 5$ となります。

よって、3次方程式の解は $x = 0, -5, 5$ となります。

**3.(1)** $x^4 - 9x^2 + 20 = 0$

この4次方程式は、$y = x^2$ と置換すると、2次方程式になります。

$y^2 - 9y + 20 = 0$

因数分解すると、

$(y-4)(y-5) = 0$

したがって、$y = 4, 5$ となります。$y = x^2$ なので、$x^2 = 4$ または $x^2 = 5$ となります。

$x^2 = 4$ より、$x = \pm 2$

$x^2 = 5$ より、$x = \pm \sqrt{5}$

よって、4次方程式の解は $x = -2, 2, -\sqrt{5}, \sqrt{5}$ となります。

**3.(2)** $x^4 + 5x^2 = 0$

この4次方程式は、$x^2$ でくくり出すことができます。

$x^2(x^2 + 5) = 0$

したがって、$x^2 = 0$ または $x^2 + 5 = 0$ となります。

$x^2 = 0$ より、$x = 0$ (重解)

$x^2 + 5 = 0$ より、$x^2 = -5$ なので、$x = \pm i\sqrt{5}$

よって、4次方程式の解は $x = 0, 0, i\sqrt{5}, -i\sqrt{5}$ となります。

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3. 最終的な答え**

1. $x = -2, \frac{3 + i\sqrt{7}}{2}, \frac{3 - i\sqrt{7}}{2}$

2. (1) $x = 0, -2, 1$ (2) $x = 0, -5, 5$

3. (1) $x = -2, 2, -\sqrt{5}, \sqrt{5}$ (2) $x = 0, 0, i\sqrt{5}, -i\sqrt{5}$