放物線 $y = -2x^2$ を $x$ 軸方向に $-5$, $y$ 軸方向に $-9$ 平行移動した放物線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = -2x^2$ を $x$ 軸方向に $-5$, $y$ 軸方向に $-9$ 平行移動した放物線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

平行移動を行う場合、$x$ 軸方向に $a$、 $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動したとき、元の式 $f(x,y) = 0$ は $f(x-a, y-b) = 0$ となります。

したがって、$x$ 軸方向に $-5$、 $y$ 軸方向に $-9$ 平行移動した場合、$x$ を $x - (-5) = x + 5$ に、$y$ を $y - (-9) = y + 9$ に置き換えます。

元の式は $y = -2x^2$ なので、

$y + 9 = -2(x + 5)^2$

$y = -2(x + 5)^2 - 9$

展開して整理すると、

$y = -2(x^2 + 10x + 25) - 9$

$y = -2x^2 - 20x - 50 - 9$

$y = -2x^2 - 20x - 59$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 - 20x - 59$