問題6は、与えられた行列の等式 $ \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $ を満たす正方行列 $A$ を求める問題です。 問題7は、同じ次数の正方行列$A, B$に対して、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$が成り立つための条件を求める問題です。

1. 問題の内容

問題6は、与えられた行列の等式

$$

\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} A \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

$$

を満たす正方行列 $A$ を求める問題です。

問題7は、同じ次数の正方行列$A, B$に対して、$(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$が成り立つための条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題6：

まず、与えられた式を変形して、$A$ を求めます。

$X = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$, $Z = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ と置くと、

$XAY = Z$

となります。$X$ と $Y$ の逆行列を求め、$X^{-1}$と$Y^{-1}$を左と右から掛けることで、$A$を求めることができます。

$X = \begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ の行列式は $4*4 - 5*3 = 16 - 15 = 1$ なので、逆行列は

$X^{-1} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix}$

です。

$Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{pmatrix}$ の行列式は $0*(-2) - 1*1 = -1$ なので、逆行列は

$Y^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} / (-1) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

です。

したがって、$A = X^{-1} Z Y^{-1}$ となります。

まず、$X^{-1} Z$ を計算します。

$X^{-1} Z = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4*2 + (-5)*1 & 4*(-4) + (-5)*0 \\ (-3)*2 + 4*1 & (-3)*(-4) + 4*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix}$

次に、$A = (X^{-1} Z) Y^{-1}$ を計算します。

$A = \begin{pmatrix} 3 & -16 \\ -2 & 12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3*2 + (-16)*1 & 3*1 + (-16)*0 \\ (-2)*2 + 12*1 & (-2)*1 + 12*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$

問題7：

$(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$

これが $A^2 - B^2$ と等しくなるためには、$-AB + BA = 0$ となる必要があります。

すなわち、$AB = BA$ となる必要があります。これは、$A$ と $B$ が可換であるという条件です。

3. 最終的な答え

問題6：

$A = \begin{pmatrix} -10 & 3 \\ 8 & -2 \end{pmatrix}$

問題7：

$AB = BA$ (AとBが可換であること)