与えられた対数方程式と対数不等式を解く問題です。具体的には、 (1) $\log_2(x+1)=3$ (2) $\log_3(x-4)^2 = 2$ (3) $\log_3(x-4) < 1$ (4) $\log_{\frac{1}{3}}(x+2) < 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた対数方程式と対数不等式を解く問題です。具体的には、

(1) $\log_2(x+1)=3$

(2) $\log_3(x-4)^2 = 2$

(3) $\log_3(x-4) < 1$

(4) $\log_{\frac{1}{3}}(x+2) < 0$

を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $\log_2(x+1)=3$

真数条件より、$x+1 > 0$ つまり $x > -1$が必要です。

$\log_2(x+1)=3$ を指数形式に変換すると、

$x+1 = 2^3$

$x+1 = 8$

$x = 7$

これは $x > -1$ を満たします。

(2) $\log_3(x-4)^2 = 2$

真数条件より、$(x-4)^2 > 0$ つまり $x \neq 4$が必要です。

$\log_3(x-4)^2 = 2$ を指数形式に変換すると、

$(x-4)^2 = 3^2$

$(x-4)^2 = 9$

$x-4 = \pm 3$

$x = 4 \pm 3$

$x = 7$ または $x = 1$

$x \neq 4$ を満たします。

(3) $\log_3(x-4) < 1$

真数条件より、$x-4 > 0$ つまり $x > 4$が必要です。

$\log_3(x-4) < 1$ を $\log$ で表すと、

$\log_3(x-4) < \log_3(3)$

底が3で1より大きいので、

$x-4 < 3$

$x < 7$

$x > 4$と $x < 7$ を合わせると、$4 < x < 7$

(4) $\log_{\frac{1}{3}}(x+2) < 0$

真数条件より、$x+2 > 0$ つまり $x > -2$が必要です。

$\log_{\frac{1}{3}}(x+2) < 0$ を $\log$ で表すと、

$\log_{\frac{1}{3}}(x+2) < \log_{\frac{1}{3}}(1)$

底が$\frac{1}{3}$で1より小さいので、不等号の向きが反転します。

$x+2 > 1$

$x > -1$

$x > -2$と $x > -1$ を合わせると、$x > -1$

3. 最終的な答え

(1) $x = 7$

(2) $x = 1, 7$

(3) $4 < x < 7$

(4) $x > -1$