与えられた6つの指数計算の問題を解く。

1. 問題の内容

与えられた6つの指数計算の問題を解く。

2. 解き方の手順

(1) 指数の積の公式 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いる。

$3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2 = 9$

(2) 指数の積の公式 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いる。

$5^{-\frac{1}{3}} \times 5^{\frac{4}{3}} = 5^{-\frac{1}{3} + \frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{3}} = 5^1 = 5$

(3) 指数の商の公式 $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ を用いる。

$16^{\frac{3}{8}} \div 16^{-\frac{5}{8}} = 16^{\frac{3}{8} - (-\frac{5}{8})} = 16^{\frac{3}{8} + \frac{5}{8}} = 16^{\frac{8}{8}} = 16^1 = 16$

(4) 指数の公式 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いる。

$(3^{\frac{6}{5}})^{\frac{10}{3}} = 3^{\frac{6}{5} \times \frac{10}{3}} = 3^{\frac{60}{15}} = 3^4 = 81$

(5) 指数の公式 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いる。 $8 = 2^3$を利用する。

$(8^{\frac{4}{9}})^{\frac{3}{2}} = 8^{\frac{4}{9} \times \frac{3}{2}} = 8^{\frac{12}{18}} = 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \times \frac{2}{3}} = 2^2 = 4$

(6) 指数の公式 $(a^m)^n = a^{mn}$ を用いる。 $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$　を利用する。

$[(\frac{16}{25})^{-\frac{3}{4}}]^{\frac{2}{3}} = (\frac{16}{25})^{-\frac{3}{4} \times \frac{2}{3}} = (\frac{16}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{25}{16})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}} = \frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) 5

(3) 16

(4) 81

(5) 4

(6) $\frac{5}{4}$