与えられた対数関数の方程式または不等式を解く問題です。問題は6つあります。 (1) $\log_3 x = 2$ (2) $\log_5 x = -1$ (3) $\log_{\frac{1}{3}} x = 4$ (4) $\log_{10} x < 3$ (5) $\log_3 x \le -2$ (6) $\log_{\frac{1}{3}} x < -1$

1. 問題の内容

与えられた対数関数の方程式または不等式を解く問題です。問題は6つあります。

(1) $\log_3 x = 2$

(2) $\log_5 x = -1$

(3) $\log_{\frac{1}{3}} x = 4$

(4) $\log_{10} x < 3$

(5) $\log_3 x \le -2$

(6) $\log_{\frac{1}{3}} x < -1$

2. 解き方の手順

対数の定義 $y = \log_a x \Leftrightarrow x = a^y$ を利用します。また、対数の真数は正である必要があります。不等式を解くときは、底が1より大きいか小さいかで不等号の向きが変わることに注意します。

(1) $\log_3 x = 2$ より、 $x = 3^2 = 9$。

真数条件 $x > 0$ を満たします。

(2) $\log_5 x = -1$ より、 $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$。

真数条件 $x > 0$ を満たします。

(3) $\log_{\frac{1}{3}} x = 4$ より、 $x = (\frac{1}{3})^4 = \frac{1}{81}$。

真数条件 $x > 0$ を満たします。

(4) $\log_{10} x < 3$ より、$x < 10^3 = 1000$。

真数条件 $x > 0$ も考慮すると、$0 < x < 1000$。

(5) $\log_3 x \le -2$ より、$x \le 3^{-2} = \frac{1}{9}$。

真数条件 $x > 0$ も考慮すると、$0 < x \le \frac{1}{9}$。

(6) $\log_{\frac{1}{3}} x < -1$ より、$x > (\frac{1}{3})^{-1} = 3$。（底が1より小さいので不等号の向きが変わります）

真数条件 $x > 0$ は $x > 3$ に含まれるので、$x > 3$。

3. 最終的な答え

(1) $x = 9$

(2) $x = \frac{1}{5}$

(3) $x = \frac{1}{81}$

(4) $0 < x < 1000$

(5) $0 < x \le \frac{1}{9}$

(6) $x > 3$