関数 $y = \sin x - \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin x - \cos x$ ($0 \le x \le 2\pi$) の最大値、最小値、およびそれらを与える $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = \sin x - \cos x$ を合成して $r \sin(x + \alpha)$ の形に変形します。

$y = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = \sqrt{2} \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.

ここで、$x$ の範囲は $0 \le x \le 2\pi$ なので、$x - \frac{\pi}{4}$ の範囲は $-\frac{\pi}{4} \le x - \frac{\pi}{4} \le 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ です。

$\sin$ 関数の最大値は 1 で、最小値は -1 です。

最大値をとる $x$ の値を求めます。

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$ のとき、 $x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$ は整数）なので、$x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi$ となります。$0 \le x \le 2\pi$ の範囲では、$x = \frac{3\pi}{4}$ です。

最小値をとる $x$ の値を求めます。

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = -1$ のとき、$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$ （$n$ は整数）なので、$x = \frac{7\pi}{4} + 2n\pi$ となります。$0 \le x \le 2\pi$ の範囲では、$x = \frac{7\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

最大値：$\sqrt{2}$ ($x = \frac{3\pi}{4}$ のとき)

最小値：$-\sqrt{2}$ ($x = \frac{7\pi}{4}$ のとき)