与えられた関数について、n次導関数を求める問題です。 (a) $y = e^{2x}$ (b) $y = \log x$ (c) $y = x^2 e^x$ (画像では途中で終わっていますが、解くことは可能です)

はい、承知いたしました。画像の微分積分の問題について、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

与えられた関数について、n次導関数を求める問題です。

(a) $y = e^{2x}$

(b) $y = \log x$

(c) $y = x^2 e^x$ (画像では途中で終わっていますが、解くことは可能です)

2. 解き方の手順

(a) $y = e^{2x}$ の場合:

* $y' = 2e^{2x}$

* $y'' = 2(2e^{2x}) = 2^2 e^{2x}$

* $y''' = 2(2^2 e^{2x}) = 2^3 e^{2x}$

一般に、$y^{(n)} = 2^n e^{2x}$となります。

(b) $y = \log x$ の場合:

* $y' = \frac{1}{x} = x^{-1}$

* $y'' = -x^{-2}$

* $y''' = 2x^{-3}$

* $y^{(4)} = -2 \cdot 3 x^{-4}$

* $y^{(5)} = 2 \cdot 3 \cdot 4 x^{-5}$

* $y^{(6)} = -2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 x^{-6}$

一般に、$y^{(n)} = (-1)^{n-1} (n-1)! x^{-n} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$となります。

(c) $y = x^2 e^x$ の場合:

ライプニッツの公式を利用します。ライプニッツの公式とは、$n$次導関数について以下の式が成り立つというものです。

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$

ここで、$u = x^2$ , $v = e^x$ とすると、

$u' = 2x$

$u'' = 2$

$u^{(k)} = 0$ (for $k \geq 3$)

$v^{(k)} = e^x$ (for all k)

よって、$y^{(n)} = (x^2 e^x)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (x^2)^{(n-k)} (e^x)^{(k)}$

$= \binom{n}{0} x^2 e^x + \binom{n}{1} 2x e^x + \binom{n}{2} 2 e^x$

$= x^2 e^x + 2nxe^x + n(n-1)e^x$

$= e^x [x^2 + 2nx + n(n-1)]$

3. 最終的な答え

(a) $y^{(n)} = 2^n e^{2x}$

(b) $y^{(n)} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n}$

(c) $y^{(n)} = e^x [x^2 + 2nx + n(n-1)]$