2変数関数 $f(x, y) = \cos x + 2 \cos y - 3 \sin(xy)$ を、$x, y$ について2次までマクローリン展開する。

## 問題1 (1)

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \cos x + 2 \cos y - 3 \sin(xy)$ を、$x, y$ について2次までマクローリン展開する。

2. 解き方の手順

マクローリン展開はテイラー展開の特別な場合で、原点 $(0, 0)$ 周りでのテイラー展開である。2変数関数の2次までのマクローリン展開は以下の形で表される。

$f(x, y) \approx f(0, 0) + f_x(0, 0)x + f_y(0, 0)y + \frac{1}{2}f_{xx}(0, 0)x^2 + f_{xy}(0, 0)xy + \frac{1}{2}f_{yy}(0, 0)y^2$

ここで、$f_x$, $f_y$, $f_{xx}$, $f_{xy}$, $f_{yy}$ はそれぞれ $x$, $y$ に関する偏微分である。

まず、必要な偏微分を計算する。

$f(x, y) = \cos x + 2 \cos y - 3 \sin(xy)$

$f_x(x, y) = -\sin x - 3y \cos(xy)$

$f_y(x, y) = -2 \sin y - 3x \cos(xy)$

$f_{xx}(x, y) = -\cos x + 3y^2 \sin(xy)$

$f_{xy}(x, y) = -3 \cos(xy) + 3xy \sin(xy)$

$f_{yy}(x, y) = -2 \cos y + 3x^2 \sin(xy)$

次に、これらの偏微分を原点 $(0, 0)$ で評価する。

$f(0, 0) = \cos 0 + 2 \cos 0 - 3 \sin 0 = 1 + 2 - 0 = 3$

$f_x(0, 0) = -\sin 0 - 3(0) \cos 0 = 0$

$f_y(0, 0) = -2 \sin 0 - 3(0) \cos 0 = 0$

$f_{xx}(0, 0) = -\cos 0 + 3(0)^2 \sin 0 = -1$

$f_{xy}(0, 0) = -3 \cos 0 + 3(0)(0) \sin 0 = -3$

$f_{yy}(0, 0) = -2 \cos 0 + 3(0)^2 \sin 0 = -2$

これらの値をマクローリン展開の式に代入する。

$f(x, y) \approx 3 + 0x + 0y + \frac{1}{2}(-1)x^2 + (-3)xy + \frac{1}{2}(-2)y^2$

3. 最終的な答え

$f(x, y) \approx 3 - \frac{1}{2}x^2 - 3xy - y^2$

## 問題1 (2)

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \cos x + 2 \cos y - 3 \sin(xy)$ が原点で停留しているか判定し、停留点の場合、極値か鞍点かを判定する。

2. 解き方の手順

停留点である条件は、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ であることである。問題1 (1) で計算したように、$f_x(0, 0) = 0$ かつ $f_y(0, 0) = 0$ であるので、原点は停留点である。

次に、ヘッセ行列を計算する。

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

原点でのヘッセ行列は、

$H(0, 0) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -3 & -2 \end{pmatrix}$

ヘッセ行列の行列式 $D$ は、

$D = f_{xx}(0, 0)f_{yy}(0, 0) - (f_{xy}(0, 0))^2 = (-1)(-2) - (-3)^2 = 2 - 9 = -7$

$D < 0$ であるので、原点は鞍点である。

3. 最終的な答え

原点は停留点であり、鞍点である。

## 問題2 (1)

1. 問題の内容

$f(x) = \log x - x$ を $x = 1$ の周りで2次までテイラー展開する。

2. 解き方の手順

テイラー展開は以下の式で与えられる。

$f(x) \approx f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{1}{2}f''(a)(x - a)^2$

ここで、$a = 1$ である。

まず、$f(x)$, $f'(x)$, $f''(x)$ を計算する。

$f(x) = \log x - x$

$f'(x) = \frac{1}{x} - 1$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

次に、これらの関数を $x = 1$ で評価する。

$f(1) = \log 1 - 1 = 0 - 1 = -1$

$f'(1) = \frac{1}{1} - 1 = 1 - 1 = 0$

$f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

これらの値をテイラー展開の式に代入する。

$f(x) \approx -1 + 0(x - 1) + \frac{1}{2}(-1)(x - 1)^2$

3. 最終的な答え

$f(x) \approx -1 - \frac{1}{2}(x - 1)^2$

## 問題2 (2)

1. 問題の内容

2変数関数 $f(x, y) = \log x + 3 \log y + x - y - 2xy$ の停留点を見つけ、その臨界性 (極値か鞍点か) を判定する。

2. 解き方の手順

まず、偏微分を計算する。

$f_x(x, y) = \frac{1}{x} + 1 - 2y$

$f_y(x, y) = \frac{3}{y} - 1 - 2x$

停留点では、$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ である。したがって、

$\frac{1}{x} + 1 - 2y = 0$

$\frac{3}{y} - 1 - 2x = 0$

これらの式を解く。

1つ目の式から、$2y = \frac{1}{x} + 1$ より、$y = \frac{1}{2x} + \frac{1}{2}$

2つ目の式に代入して、$\frac{3}{\frac{1}{2x} + \frac{1}{2}} - 1 - 2x = 0$

$\frac{6x}{1 + x} - 1 - 2x = 0$

$6x - (1 + x) - 2x(1 + x) = 0$

$6x - 1 - x - 2x - 2x^2 = 0$

$-2x^2 + 3x - 1 = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

$(2x - 1)(x - 1) = 0$

$x = 1$ または $x = \frac{1}{2}$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{1}{2(1)} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \frac{1}{2(\frac{1}{2})} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

したがって、停留点は $(1, 1)$ と $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ である。

次に、ヘッセ行列を計算する。

$f_{xx}(x, y) = -\frac{1}{x^2}$

$f_{xy}(x, y) = -2$

$f_{yy}(x, y) = -\frac{3}{y^2}$

ヘッセ行列は、

$H = \begin{pmatrix} -\frac{1}{x^2} & -2 \\ -2 & -\frac{3}{y^2} \end{pmatrix}$

(1, 1) でのヘッセ行列は、

$H(1, 1) = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -2 & -3 \end{pmatrix}$

$D = (-1)(-3) - (-2)^2 = 3 - 4 = -1 < 0$

したがって、(1, 1) は鞍点である。

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ でのヘッセ行列は、

$H(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -2 & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$

$D = (-4)(-\frac{4}{3}) - (-2)^2 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16 - 12}{3} = \frac{4}{3} > 0$

$f_{xx}(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) = -4 < 0$

したがって、$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ は極大点である。

3. 最終的な答え

停留点は $(1, 1)$ と $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ である。

$(1, 1)$ は鞍点であり、$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ は極大点である。