放物線 $y = x^2 - 3x$ と与えられた2つの直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。 (1) $y=0$ と $y=4$ で囲まれた部分の面積 (2) $y=2x$ と $y=-x$ で囲まれた部分の面積

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 3x$ と与えられた2つの直線で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

(1) $y=0$ と $y=4$ で囲まれた部分の面積

(2) $y=2x$ と $y=-x$ で囲まれた部分の面積

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2 - 3x$ と $y=0$ の交点を求めます。

$x^2 - 3x = 0$ より、$x(x-3) = 0$。

したがって、$x=0, 3$ で交わります。

次に、$y = x^2 - 3x$ と $y=4$ の交点を求めます。

$x^2 - 3x = 4$ より、$x^2 - 3x - 4 = 0$。

$(x-4)(x+1) = 0$ より、$x=-1, 4$ で交わります。

求める面積は、$\int_{-1}^0 (4 - (x^2 - 3x)) dx + \int_{0}^3 (4 - (x^2 - 3x)) dx + \int_{3}^4 (4 - (x^2 - 3x)) dx$

$= \int_{-1}^4 (4 - x^2 + 3x) dx$

$= [4x - \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2]_{-1}^4$

$= (16 - \frac{64}{3} + 24) - (-4 + \frac{1}{3} + \frac{3}{2})$

$= 40 - \frac{64}{3} + 4 - \frac{1}{3} - \frac{3}{2}$

$= 44 - \frac{65}{3} - \frac{3}{2}$

$= \frac{264 - 130 - 9}{6} = \frac{125}{6}$

(2)

まず、$y = x^2 - 3x$ と $y=2x$ の交点を求めます。

$x^2 - 3x = 2x$ より、$x^2 - 5x = 0$。

$x(x-5) = 0$ より、$x=0, 5$ で交わります。

次に、$y = x^2 - 3x$ と $y=-x$ の交点を求めます。

$x^2 - 3x = -x$ より、$x^2 - 2x = 0$。

$x(x-2) = 0$ より、$x=0, 2$ で交わります。

$y=2x$ と $y=-x$ の交点は、$2x = -x$ より、$3x=0$ なので、$x=0$。

求める面積は、$\int_0^2 (2x - (x^2 - 3x)) dx + \int_2^5 (-x - (x^2 - 3x)) dx$

$= \int_0^2 (5x - x^2) dx + \int_2^5 (2x - x^2) dx$

$= [\frac{5}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^2 + [x^2 - \frac{1}{3}x^3]_2^5$

$= (10 - \frac{8}{3}) + (25 - \frac{125}{3}) - (4 - \frac{8}{3})$

$= 10 - \frac{8}{3} + 25 - \frac{125}{3} - 4 + \frac{8}{3}$

$= 31 - \frac{125}{3} = \frac{93 - 125}{3} = -\frac{32}{3}$

絶対値を取って、$\frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{125}{6}$

(2) $\frac{32}{3}$