$\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2})$ を計算します。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2})$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\arctan x - \frac{\pi}{2}$ を変形します。

$y = \arctan x$ とおくと、$x = \tan y$ です。$x \to \infty$ のとき、$y \to \frac{\pi}{2}$ です。

$\arctan x - \frac{\pi}{2} = y - \frac{\pi}{2} = -( \frac{\pi}{2} - y)$

ここで、$\cot y = \frac{1}{\tan y} = \frac{1}{x}$ です。また、$\cot y = \tan ( \frac{\pi}{2} - y)$ です。

従って、$\frac{\pi}{2} - y = \arctan ( \frac{1}{x} )$ となります。

$\arctan x - \frac{\pi}{2} = - \arctan (\frac{1}{x})$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x (\arctan x - \frac{\pi}{2}) = \lim_{x \to \infty} x (-\arctan (\frac{1}{x})) = - \lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x})$

ここで、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to \infty$ のとき $t \to 0$ となります。

$- \lim_{x \to \infty} x \arctan(\frac{1}{x}) = - \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t}$

ロピタルの定理を使うと、

$- \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = - \lim_{t \to 0} \frac{\frac{1}{1+t^2}}{1} = - \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t^2} = -\frac{1}{1+0^2} = -1$

別の解法として、$\arctan t$のマクローリン展開を使うこともできます。

$\arctan t = t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \dots$

従って、

$- \lim_{t \to 0} \frac{\arctan t}{t} = - \lim_{t \to 0} \frac{t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \dots}{t} = - \lim_{t \to 0} (1 - \frac{t^2}{3} + \frac{t^4}{5} - \dots) = -1$

3. 最終的な答え

-1