関数 $y = |2x^2 - ax|$ のグラフを $C$ とする。$S(a) = \int_0^3 |2x^2 - ax| dx$ とする。 (1) $a = 6$ のとき、$C$ 上の $x$ 座標が $1$ である点における接線を $l$ とする。 (i) $C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を小さい順に求めよ。 (ii) $S(6)$ を求めよ。 (iii) $l$ の方程式を求めよ。また、$C$ と $l$ の共有点のうち、接点以外のものの $x$ 座標を求めよ。$C$ と $l$ で囲まれた $2$ つの部分の面積の和を求めよ。 (2) $S(4)$ を求めよ。 (3) $a > 0$ において、$S(a)$ の最小値を求めよ。また、$S(a)$ が最小となる $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = |2x^2 - ax|$ のグラフを $C$ とする。$S(a) = \int_0^3 |2x^2 - ax| dx$ とする。

(1) $a = 6$ のとき、$C$ 上の $x$ 座標が $1$ である点における接線を $l$ とする。

(i) $C$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を小さい順に求めよ。

(ii) $S(6)$ を求めよ。

(iii) $l$ の方程式を求めよ。また、$C$ と $l$ の共有点のうち、接点以外のものの $x$ 座標を求めよ。$C$ と $l$ で囲まれた $2$ つの部分の面積の和を求めよ。

(2) $S(4)$ を求めよ。

(3) $a > 0$ において、$S(a)$ の最小値を求めよ。また、$S(a)$ が最小となる $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

(i) $y = |2x^2 - 6x|$ と $x$ 軸 ($y = 0$) の交点を求める。$2x^2 - 6x = 2x(x - 3) = 0$ より、$x = 0, 3$。よって、アは 0、イは 3。

(ii) $S(6) = \int_0^3 |2x^2 - 6x| dx$ を計算する。$0 \le x \le 3$ で $2x^2 - 6x \le 0$ であるから、

$S(6) = \int_0^3 -(2x^2 - 6x) dx = \int_0^3 (-2x^2 + 6x) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 3x^2]_0^3 = -\frac{2}{3}(3^3) + 3(3^2) = -18 + 27 = 9$。よって、ウは 9。

(iii) $y = |2x^2 - 6x|$ において、$x = 1$ のとき、$y = |2(1)^2 - 6(1)| = |-4| = 4$。$x = 1$ の近くでは $2x^2 - 6x < 0$ であるから、$y = -2x^2 + 6x$。

$y' = -4x + 6$。$x = 1$ における接線の傾きは $y'(1) = -4(1) + 6 = 2$。

よって、接線 $l$ の方程式は $y - 4 = 2(x - 1)$ より $y = 2x + 2$。よって、エは 2、オは 2。

$|2x^2 - 6x| = 2x + 2$ を解く。まず、$2x^2 - 6x \ge 0$ となる $x$ ($x \le 0$ または $x \ge 3$) の範囲で $2x^2 - 6x = 2x + 2$ を解くと、$2x^2 - 8x - 2 = 0$ より、$x^2 - 4x - 1 = 0$。解の公式より、$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$。

$x = 2 + \sqrt{5}$ は $x \ge 3$ を満たし、$x = 2 - \sqrt{5}$ は $x \le 0$ を満たす。$x=1$は接点だから、$x=2+\sqrt{5}$は接点以外の$x$座標となる。

次に、$2x^2 - 6x < 0$ となる $x$ ($0 < x < 3$) の範囲で $-2x^2 + 6x = 2x + 2$ を解くと、$2x^2 - 4x + 2 = 0$ より、$x^2 - 2x + 1 = 0$。$(x - 1)^2 = 0$ より、$x = 1$。これは接点である。

よって、接点以外の $x$ 座標は $x = 2 + \sqrt{5}$。カは 2、キは 5。

$2x^2-6x$ と $2x+2$ で囲まれた領域は $1$ から $2+\sqrt{5}$ で囲まれた領域

面積は $\int_1^{2+\sqrt{5}} (2x+2 - (2x^2 - 6x)) dx = \int_1^{2+\sqrt{5}} (-2x^2 + 8x + 2)dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 4x^2 + 2x]_1^{2+\sqrt{5}} = [-\frac{2}{3}(2+\sqrt{5})^3 + 4(2+\sqrt{5})^2 + 2(2+\sqrt{5})] - [-\frac{2}{3} + 4 + 2] = \frac{20+16\sqrt{5}}{3}$.

$-2x^2+6x$ と $2x+2$ で囲まれた領域は $1$ のみ

$\int_0^1 (2x^2-6x-(2x+2)) dx = \int_0^1 (2x^2-8x-2) dx = [\frac{2}{3}x^3 - 4x^2 - 2x]^1_0 = \frac{2}{3}-4-2=-\frac{16}{3}$.

囲まれた$2$つの面積は、

$\int_{2-\sqrt{5}}^0 |2x^2 - 6x - (2x+2)| dx + \int_1^{2+\sqrt{5}} | -2x^2 + 6x - (2x+2)| dx$

$= \int_{2-\sqrt{5}}^0 (2x^2 - 8x - 2) dx + \int_1^{2+\sqrt{5}} (-2x^2 + 4x + 2) dx = \dots$

(2)

$S(4) = \int_0^3 |2x^2 - 4x| dx$ を計算する。$2x^2 - 4x = 2x(x - 2)$。$0 \le x \le 2$ で $2x^2 - 4x \le 0$ であり、$2 \le x \le 3$ で $2x^2 - 4x \ge 0$ であるから、

$S(4) = \int_0^2 -(2x^2 - 4x) dx + \int_2^3 (2x^2 - 4x) dx = \int_0^2 (-2x^2 + 4x) dx + \int_2^3 (2x^2 - 4x) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2]_0^2 + [\frac{2}{3}x^3 - 2x^2]_2^3 = (-\frac{16}{3} + 8) + (\frac{2}{3}(27) - 2(9) - (\frac{16}{3} - 8)) = -\frac{16}{3} + 8 + 18 - 18 - \frac{16}{3} + 8 = 16 - \frac{32}{3} = \frac{48 - 32}{3} = \frac{16}{3}$。よって、ソタは 16、チは 3。

(3)

$S(a) = \int_0^3 |2x^2 - ax| dx$ を計算する。$2x^2 - ax = x(2x - a)$。$2x - a = 0$ より、$x = \frac{a}{2}$。

$0 < \frac{a}{2} \le 3$, $0 < a \le 6$ のとき、

$S(a) = \int_0^{\frac{a}{2}} -(2x^2 - ax) dx + \int_{\frac{a}{2}}^3 (2x^2 - ax) dx = \int_0^{\frac{a}{2}} (-2x^2 + ax) dx + \int_{\frac{a}{2}}^3 (2x^2 - ax) dx = [-\frac{2}{3}x^3 + \frac{a}{2}x^2]_0^{\frac{a}{2}} + [\frac{2}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2]_{\frac{a}{2}}^3 = -\frac{2}{3}(\frac{a}{2})^3 + \frac{a}{2}(\frac{a}{2})^2 + (\frac{2}{3}(3^3) - \frac{a}{2}(3^2) - (\frac{2}{3}(\frac{a}{2})^3 - \frac{a}{2}(\frac{a}{2})^2)) = -\frac{a^3}{12} + \frac{a^3}{8} + 18 - \frac{9a}{2} - (\frac{a^3}{12} - \frac{a^3}{8}) = \frac{a^3}{24} + 18 - \frac{9a}{2} - \frac{a^3}{12} + \frac{a^3}{8} = \frac{a^3}{24} + 18 - \frac{9a}{2} -\frac{2a^3}{24} + \frac{3a^3}{24} = \frac{2a^3}{24} -\frac{9a}{2} + 18 = \frac{a^3}{12} - \frac{9a}{2} + 18$

$S'(a) = \frac{3a^2}{12} - \frac{9}{2} = \frac{a^2}{4} - \frac{9}{2} = 0$ より、$a^2 = 18$。$a = \pm 3\sqrt{2}$。$0 < a \le 6$ より、$a = 3\sqrt{2}$。

$S(3\sqrt{2}) = \frac{(3\sqrt{2})^3}{12} - \frac{9(3\sqrt{2})}{2} + 18 = \frac{54\sqrt{2}}{12} - \frac{27\sqrt{2}}{2} + 18 = \frac{9\sqrt{2}}{2} - \frac{27\sqrt{2}}{2} + 18 = 18 - \frac{18\sqrt{2}}{2} = 18 - 9\sqrt{2}$。

$a > 6$ のとき、$2x^2 - ax < 0$ が $0<x<3$ に常に成り立つので、

$S(a) = \int_0^3 -2x^2+ax dx = [-\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}ax^2]_0^3 = -\frac{2}{3} \cdot 3^3 + \frac{1}{2}a \cdot 3^2 = -18 + \frac{9}{2}a$

$S'(a) = \frac{9}{2} > 0$

よって$a=3\sqrt{2}$ の時$S(a) = 18-9\sqrt{2}$.

したがってツテは 18、トは 9、ナは 2。ニは 3、ヌは 2。

3. 最終的な答え

ア: 0

イ: 3

ウ: 9

エ: 2

オ: 2

カ: 2

キ: 5

クケコ:

サシ:

ス:

セ:

ソタ: 16

チ: 3

ツテ: 18

ト: 9

ナ: 2

ニ: 3

ヌ: 2