## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

次の関数の極値を求める問題です。

(1) $y = x^2 e^{-x}$

(2) $y = \frac{x}{\log x}$

(3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x)^4}$

(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ ($0 \le x \le 2\pi$)

今回は、(1) $y = x^2 e^{-x}$ の極値を求めます。

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2. 解き方の手順

1. 与えられた関数を$x$で微分し、$y'$を求めます。

2. $y' = 0$となる$x$を求めます。これらの$x$の値は、極値の候補となります。

3. $y''$を求めます。

4. $y' = 0$となる$x$の値を$y''$に代入します。

* $y'' > 0$の場合、その$x$で極小値を取ります。

* $y'' < 0$の場合、その$x$で極大値を取ります。

* $y'' = 0$の場合、その$x$で極値を取らない可能性があります。

5. 極値を取る$x$の値を元の関数に代入して、極値を求めます。

(1) $y = x^2 e^{-x}$

1. 微分します。

$y' = 2x e^{-x} + x^2 (-e^{-x}) = (2x - x^2)e^{-x} = x(2-x)e^{-x}$

2. $y' = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x} > 0$ なので、$x(2-x) = 0$ となります。

$x = 0, 2$

3. 2階微分を求めます。

$y'' = (2 - 2x)e^{-x} + x(2-x)(-e^{-x}) = (2 - 2x - 2x + x^2)e^{-x} = (x^2 - 4x + 2)e^{-x}$

4. $y''$に$x = 0, 2$を代入します。

$x = 0$ のとき、$y''(0) = (0^2 - 4(0) + 2)e^{-0} = 2 > 0$

$x = 2$ のとき、$y''(2) = (2^2 - 4(2) + 2)e^{-2} = (4 - 8 + 2)e^{-2} = -2e^{-2} < 0$

5. 極値を求めます。

$x = 0$のとき、$y(0) = 0^2 e^{-0} = 0$ (極小値)

$x = 2$のとき、$y(2) = 2^2 e^{-2} = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2}$ (極大値)

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3. 最終的な答え

$x=0$で極小値$0$

$x=2$で極大値$\frac{4}{e^2}$