定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{(4-x)(x-1)} dx$ の値を求め、$\frac{ア}{イ} \pi$ の形で表す問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} \sqrt{(4-x)(x-1)} dx$ の値を求め、$\frac{ア}{イ} \pi$ の形で表す問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$\sqrt{(4-x)(x-1)} = \sqrt{-x^2 + 5x - 4}$

平方完成を行います。

$-x^2 + 5x - 4 = -(x^2 - 5x) - 4 = -(x - \frac{5}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 - 4 = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - \frac{16}{4} = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{9}{4}$

したがって、

$\sqrt{(4-x)(x-1)} = \sqrt{\frac{9}{4} - (x - \frac{5}{2})^2}$

ここで、置換積分を行います。

$x - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta$ と置くと、$dx = \frac{3}{2} \cos \theta d\theta$ となります。

$x = 1$ のとき、$1 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta$ より、$-\frac{3}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta$ なので、$\sin \theta = -1$。よって、$\theta = -\frac{\pi}{2}$ です。

$x = 4$ のとき、$4 - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta$ より、$\frac{3}{2} = \frac{3}{2} \sin \theta$ なので、$\sin \theta = 1$。よって、$\theta = \frac{\pi}{2}$ です。

$\sqrt{\frac{9}{4} - (x - \frac{5}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} - \frac{9}{4} \sin^2 \theta} = \sqrt{\frac{9}{4} (1 - \sin^2 \theta)} = \sqrt{\frac{9}{4} \cos^2 \theta} = \frac{3}{2} |\cos \theta|$

$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲では $\cos \theta \ge 0$ なので、$\sqrt{\frac{9}{4} - (x - \frac{5}{2})^2} = \frac{3}{2} \cos \theta$ となります。

よって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} \sqrt{(4-x)(x-1)} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{3}{2} \cos \theta \cdot \frac{3}{2} \cos \theta d\theta = \frac{9}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \theta d\theta$

$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ なので、

$\frac{9}{4} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2\theta}{2} d\theta = \frac{9}{8} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta) d\theta = \frac{9}{8} [\theta + \frac{1}{2} \sin 2\theta]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= \frac{9}{8} [(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin \pi) - (-\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \sin (-\pi))] = \frac{9}{8} [\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})] = \frac{9}{8} \pi$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{8} \pi$

ア = 9

イ = 8