SENSEI AI
About App

与えられた関数 $y = \sin{3x}\cos{5x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

解析学微分三角関数積の微分
2025/7/15

1. 問題の内容

与えられた関数 y=sin⁡3xcos⁡5xy = \sin{3x}\cos{5x} の導関数 y′y' を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式と三角関数の微分公式を用います。積の微分公式は (uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' です。
まず、u=sin⁡3xu = \sin{3x} と v=cos⁡5xv = \cos{5x} とおきます。
次に、uu と vv の導関数を求めます。
u′=(sin⁡3x)′=3cos⁡3xu' = (\sin{3x})' = 3\cos{3x}
v′=(cos⁡5x)′=−5sin⁡5xv' = (\cos{5x})' = -5\sin{5x}
積の微分公式を用いてy′y' を計算します。
y′=u′v+uv′y' = u'v + uv'
y′=(3cos⁡3x)(cos⁡5x)+(sin⁡3x)(−5sin⁡5x)y' = (3\cos{3x})(\cos{5x}) + (\sin{3x})(-5\sin{5x})
y′=3cos⁡3xcos⁡5x−5sin⁡3xsin⁡5xy' = 3\cos{3x}\cos{5x} - 5\sin{3x}\sin{5x}

3. 最終的な答え

y′=3cos⁡3xcos⁡5x−5sin⁡3xsin⁡5xy' = 3\cos{3x}\cos{5x} - 5\sin{3x}\sin{5x}

「解析学」の関連問題

与えられた定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos{x}} dx$ を計算する問題です。

定積分積分三角関数部分分数分解置換積分
2025/7/15

定積分 $\int_{1}^{4} \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{x} dx$ を計算する問題です。

定積分積分対数関数根号
2025/7/15

関数 $f(x) = \arctan(x)$ （または $\tan^{-1}x$）の $n$ 階導関数を $f^{(n)}(x)$ とするとき、$f^{(n)}(0)$ の値を求める問題です。

導関数arctanテイラー展開微分
2025/7/15

与えられた6つの不定積分を計算する問題です。積分定数は $C$ を用いること。 (1) $\int (3x+1)^4 dx$ (2) $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx$ ...

不定積分置換積分部分積分三角関数の積分積和の公式
2025/7/15

問題は、以下の3つの関数のマクローリン展開を求めるものです。 * $e^x$ を4次の項まで * $\cos x$ を4次の項まで * $\sin x$ を5次の項まで さらに、$\sin...

マクローリン展開テイラー展開指数関数三角関数
2025/7/15

与えられた4つの関数について、n階導関数 $y^{(n)}$ を求める問題です。関数は以下の通りです。 (1) $y = \frac{1}{x^2 - 1}$ (2) $y = \sqrt{1+x}$...

導関数ライプニッツの公式部分分数分解n階導関数
2025/7/15

定積分 $\int_{-1}^{3} |x(x+2)| dx$ を計算する問題です。

定積分絶対値積分計算
2025/7/15

次の関数の極値を求めます。 (1) $y = x^2 e^{-x}$ (2) $y = \frac{x}{\log x}$ (3) $y = \frac{1}{x^4} + \frac{1}{(1-x...

微分極値導関数最大値最小値
2025/7/15

与えられた関数の極値を求める問題です。今回は、(4) $y = 2\sin x + \cos 2x$ ($0 \leq x \leq 2\pi$) の極値を求めます。

微分三角関数極値導関数最大値最小値
2025/7/15

## 1. 問題の内容

微分極値関数の増減指数関数
2025/7/15