$S(t)$ が積分で定義されています。$S(t)$を計算する必要があります。 $S(t) = \int_{t-1}^{t} (e^x - x) dx$

1. 問題の内容

$S(t)$ が積分で定義されています。$S(t)$を計算する必要があります。

$S(t) = \int_{t-1}^{t} (e^x - x) dx$

2. 解き方の手順

まず、$e^x - x$ の不定積分を計算します。

$e^x$ の不定積分は $e^x$ です。

$x$ の不定積分は $\frac{1}{2}x^2$ です。

したがって、$e^x - x$ の不定積分は $e^x - \frac{1}{2}x^2$ です。

次に、定積分を計算します。

$S(t) = \int_{t-1}^{t} (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_{t-1}^{t}$

$= (e^t - \frac{1}{2}t^2) - (e^{t-1} - \frac{1}{2}(t-1)^2)$

$= e^t - \frac{1}{2}t^2 - e^{t-1} + \frac{1}{2}(t^2 - 2t + 1)$

$= e^t - \frac{1}{2}t^2 - e^{t-1} + \frac{1}{2}t^2 - t + \frac{1}{2}$

$= e^t - e^{t-1} - t + \frac{1}{2}$

$= e^t - \frac{e^t}{e} - t + \frac{1}{2}$

$= e^t(1 - \frac{1}{e}) - t + \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$S(t) = e^t(1-\frac{1}{e}) - t + \frac{1}{2}$