$z = 2x^2 + 3y^2$ という関数が与えられています。 (1) $x = \cos t$, $y = \sin t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求めます。 (2) $x = u + v$, $y = uv$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial u}$ と $\frac{\partial z}{\partial v}$ を求めます。

1. 問題の内容

$z = 2x^2 + 3y^2$ という関数が与えられています。

(1) $x = \cos t$, $y = \sin t$ のとき、$\frac{dz}{dt}$ を求めます。

(2) $x = u + v$, $y = uv$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial u}$ と $\frac{\partial z}{\partial v}$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 合成関数の微分を利用します。

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{dy}{dt}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 4x$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y$

$\frac{dx}{dt} = -\sin t$

$\frac{dy}{dt} = \cos t$

したがって、

$\frac{dz}{dt} = 4x(-\sin t) + 6y(\cos t) = 4(\cos t)(-\sin t) + 6(\sin t)(\cos t) = -4\cos t \sin t + 6\cos t \sin t = 2\cos t \sin t = \sin(2t)$

(2) 合成関数の偏微分を利用します。

$\frac{\partial z}{\partial u} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial v} = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = 4x = 4(u+v)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 6y = 6uv$

$\frac{\partial x}{\partial u} = 1$

$\frac{\partial x}{\partial v} = 1$

$\frac{\partial y}{\partial u} = v$

$\frac{\partial y}{\partial v} = u$

$\frac{\partial z}{\partial u} = 4(u+v)(1) + 6uv(v) = 4u + 4v + 6uv^2$

$\frac{\partial z}{\partial v} = 4(u+v)(1) + 6uv(u) = 4u + 4v + 6u^2v$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dz}{dt} = \sin(2t)$

(2) $\frac{\partial z}{\partial u} = 4u + 4v + 6uv^2$

$\frac{\partial z}{\partial v} = 4u + 4v + 6u^2v$