与えられた方程式 $sin3x + \sqrt{3}cos2x = k$ について、以下の問いに答えます。 (1) $sinx = t$ とするとき、$sin3x + \sqrt{3}cos2x$ を $t$ を用いて表し、方程式が $0 \le x < 2\pi$ の範囲に解をもつような実数 $k$ の値の範囲を求めます。 (2) 方程式が $0 \le x < 2\pi$ の範囲にちょうど5個の異なる実数解をもつような実数 $k$ の値を求め、そのときの5個の解の和を求めます。

1. 問題の内容

与えられた方程式 $sin3x + \sqrt{3}cos2x = k$ について、以下の問いに答えます。

(1) $sinx = t$ とするとき、$sin3x + \sqrt{3}cos2x$ を $t$ を用いて表し、方程式が $0 \le x < 2\pi$ の範囲に解をもつような実数 $k$ の値の範囲を求めます。

(2) 方程式が $0 \le x < 2\pi$ の範囲にちょうど5個の異なる実数解をもつような実数 $k$ の値を求め、そのときの5個の解の和を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $sin3x$ と $cos2x$ を $t = sinx$ で表します。

$sin3x = 3sinx - 4sin^3x = 3t - 4t^3$

$cos2x = 1 - 2sin^2x = 1 - 2t^2$

よって、$sin3x + \sqrt{3}cos2x = (3t - 4t^3) + \sqrt{3}(1 - 2t^2) = -4t^3 - 2\sqrt{3}t^2 + 3t + \sqrt{3}$

ここで、$f(t) = -4t^3 - 2\sqrt{3}t^2 + 3t + \sqrt{3}$ とおくと、与えられた方程式は $f(t) = k$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ の範囲で $sinx = t$ を考えると、$-1 \le t \le 1$ です。

$f'(t) = -12t^2 - 4\sqrt{3}t + 3$

$f'(t) = 0$ となる $t$ は、$t = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{48 + 144}}{-24} = \frac{4\sqrt{3} \pm \sqrt{192}}{-24} = \frac{4\sqrt{3} \pm 8\sqrt{3}}{-24} = \frac{12\sqrt{3}}{-24}, \frac{-4\sqrt{3}}{-24} = -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{6}$

$f(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -4(-\frac{3\sqrt{3}}{8}) - 2\sqrt{3}(\frac{3}{4}) + 3(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$f(\frac{\sqrt{3}}{6}) = -4(\frac{3\sqrt{3}}{216}) - 2\sqrt{3}(\frac{3}{36}) + 3(\frac{\sqrt{3}}{6}) + \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{18} - \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{- \sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 18\sqrt{3}}{18} = \frac{23\sqrt{3}}{18}$

$f(-1) = 4 - 2\sqrt{3} - 3 + \sqrt{3} = 1 - \sqrt{3}$

$f(1) = -4 - 2\sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} = -1 - \sqrt{3}$

よって、$-1-\sqrt{3} \le k \le \frac{23\sqrt{3}}{18}$となります。

(2) $0 \le x < 2\pi$ の範囲で、$sinx = t$ が5個の解を持つためには、$k$ が $-1 < t < 1$ の範囲で異なる３つの $t$ の値に対応する必要があります。具体的には、$t = 1$ または $t=-1$ を含みます。$sin x = t$は、$|t| < 1$ ならば$x$は２つ，$t = 1$または$t= -1$ならば$x$は１つです。なので、そのような$k$の値は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $sin3x + \sqrt{3}cos2x = -4t^3 - 2\sqrt{3}t^2 + 3t + \sqrt{3}$

$-1-\sqrt{3} \le k \le \frac{23\sqrt{3}}{18}$

(2) 存在しません。