定積分 $\int_0^1 e^x \sin\frac{\pi x}{2} dx$ の値を求め、与えられた式の空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^1 e^x \sin\frac{\pi x}{2} dx$ の値を求め、与えられた式の空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いて計算します。

まず、$I = \int_0^1 e^x \sin\frac{\pi x}{2} dx$ とおきます。

1回目の部分積分：

$u = \sin\frac{\pi x}{2}$、 $dv = e^x dx$ とすると、$du = \frac{\pi}{2} \cos\frac{\pi x}{2} dx$、$v = e^x$ となります。

よって、

$I = \left[e^x \sin\frac{\pi x}{2}\right]_0^1 - \int_0^1 e^x \frac{\pi}{2} \cos\frac{\pi x}{2} dx$

$I = e^1 \sin\frac{\pi}{2} - e^0 \sin 0 - \frac{\pi}{2} \int_0^1 e^x \cos\frac{\pi x}{2} dx$

$I = e - \frac{\pi}{2} \int_0^1 e^x \cos\frac{\pi x}{2} dx$

2回目の部分積分：

$u = \cos\frac{\pi x}{2}$、$dv = e^x dx$ とすると、$du = -\frac{\pi}{2} \sin\frac{\pi x}{2} dx$、$v = e^x$ となります。

$\int_0^1 e^x \cos\frac{\pi x}{2} dx = \left[e^x \cos\frac{\pi x}{2}\right]_0^1 - \int_0^1 e^x (-\frac{\pi}{2} \sin\frac{\pi x}{2}) dx$

$= e^1 \cos\frac{\pi}{2} - e^0 \cos 0 + \frac{\pi}{2} \int_0^1 e^x \sin\frac{\pi x}{2} dx$

$= 0 - 1 + \frac{\pi}{2} I$

$= -1 + \frac{\pi}{2} I$

これを $I$ の式に代入します。

$I = e - \frac{\pi}{2} \left(-1 + \frac{\pi}{2} I\right)$

$I = e + \frac{\pi}{2} - \frac{\pi^2}{4} I$

$I + \frac{\pi^2}{4} I = e + \frac{\pi}{2}$

$\frac{4+\pi^2}{4} I = \frac{2e+\pi}{2}$

$I = \frac{4}{4+\pi^2} \cdot \frac{2e+\pi}{2} = \frac{2e+\pi}{\frac{4+\pi^2}{2}} = \frac{2(\pi + 2e)}{2(4 + \pi^2) / 2}$

$I = \frac{2(\pi+2e) / 2}{(4+\pi^2) / 4} = \frac{2\pi + 4e}{4 + \pi^2} = \frac{2(\pi + 2e)}{4 + \pi^2}$

したがって，

$\int_0^1 e^x \sin\frac{\pi x}{2} dx = \frac{2\pi + 4e}{4+\pi^2} = \frac{2(\pi + 2e)}{4 + \pi^2}$

ア: 2

イ: 2

ウ: 4

3. 最終的な答え

$\int_0^1 e^x \sin\frac{\pi x}{2} dx = \frac{2\pi + 4e}{4+\pi^2}$

アに入る数字: 2

イに入る数字: 2

ウに入る数字: 4