定積分 $\int_{1}^{4} (x-1) \log x \, dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (x-1) \log x \, dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算する。

まず、$(x-1) \log x$ を展開する。

$\int_{1}^{4} (x-1) \log x \, dx = \int_{1}^{4} (x \log x - \log x) \, dx$

$\int_{1}^{4} x \log x \, dx$ と $\int_{1}^{4} \log x \, dx$ をそれぞれ計算する。

$\int x \log x \, dx$ について、部分積分法を用いる。

$u = \log x$, $dv = x \, dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ である。

よって、

$\int x \log x \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \int \frac{x}{2} \, dx = \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} + C$

$\int_{1}^{4} x \log x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \log x - \frac{x^2}{4} \right]_{1}^{4} = \left( \frac{16}{2} \log 4 - \frac{16}{4} \right) - \left( \frac{1}{2} \log 1 - \frac{1}{4} \right) = 8 \log 4 - 4 - 0 + \frac{1}{4} = 8 \log 4 - \frac{15}{4} = 8 \log (2^2) - \frac{15}{4} = 16 \log 2 - \frac{15}{4}$

次に、$\int \log x \, dx$ について、部分積分法を用いる。

$u = \log x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = x$ である。

よって、

$\int \log x \, dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \log x - \int 1 \, dx = x \log x - x + C$

$\int_{1}^{4} \log x \, dx = \left[ x \log x - x \right]_{1}^{4} = (4 \log 4 - 4) - (1 \log 1 - 1) = 4 \log 4 - 4 - 0 + 1 = 4 \log 4 - 3 = 4 \log (2^2) - 3 = 8 \log 2 - 3$

したがって、

$\int_{1}^{4} (x \log x - \log x) \, dx = (16 \log 2 - \frac{15}{4}) - (8 \log 2 - 3) = 8 \log 2 - \frac{15}{4} + 3 = 8 \log 2 - \frac{15}{4} + \frac{12}{4} = 8 \log 2 - \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$8 \log 2 - \frac{3}{4}$