定積分 $\int_{1}^{6} \frac{x}{\sqrt{10-x}} dx$ の値を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{6} \frac{x}{\sqrt{10-x}} dx$ の値を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \sqrt{10-x}$ と置換します。すると、$t^2 = 10-x$ となり、$x = 10-t^2$ です。

$dx = -2t dt$ となります。

積分区間は、$x=1$ のとき $t = \sqrt{10-1} = 3$ であり、$x=6$ のとき $t = \sqrt{10-6} = 2$ となります。

したがって、与えられた積分は次のように書き換えられます。

$\int_{1}^{6} \frac{x}{\sqrt{10-x}} dx = \int_{3}^{2} \frac{10-t^2}{t} (-2t) dt = \int_{3}^{2} (t^2-10) (2) dt = 2 \int_{3}^{2} (t^2-10) dt$

積分区間の順序を入れ替えることで、マイナス符号を消去できます。

$2 \int_{3}^{2} (t^2-10) dt = -2 \int_{2}^{3} (t^2-10) dt = 2 \int_{2}^{3} (10-t^2) dt$

不定積分を計算します。

$\int (10-t^2) dt = 10t - \frac{t^3}{3} + C$

したがって、

$2 \int_{2}^{3} (10-t^2) dt = 2 \left[10t - \frac{t^3}{3}\right]_{2}^{3} = 2 \left[\left(10(3) - \frac{3^3}{3}\right) - \left(10(2) - \frac{2^3}{3}\right)\right]$

$= 2 \left[\left(30 - \frac{27}{3}\right) - \left(20 - \frac{8}{3}\right)\right] = 2 \left[(30-9) - \left(20 - \frac{8}{3}\right)\right] = 2 \left[21 - 20 + \frac{8}{3}\right] = 2 \left[1 + \frac{8}{3}\right] = 2 \left[\frac{3}{3} + \frac{8}{3}\right] = 2 \left[\frac{11}{3}\right] = \frac{22}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{22}{3}$