(1) 曲線 $y=x^3$ と $y=x^2+ax+b$ が点 $(-1,-1)$ で接するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めなさい。 (2) 放物線 $y=x^2-2x$ と $y=-2x^2+4x-9$ のどちらにも接する接線の方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 曲線 $y=x^3$ と $y=x^2+ax+b$ が点 $(-1,-1)$ で接するとき、定数 $a$ と $b$ の値を求めなさい。

(2) 放物線 $y=x^2-2x$ と $y=-2x^2+4x-9$ のどちらにも接する接線の方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

点 $(-1,-1)$ がそれぞれの曲線上の点であることから、以下の式が成り立ちます。

$(-1)^3 = -1$ （これは自明）

$(-1)^2 + a(-1) + b = -1$

$1 - a + b = -1$

$b = a - 2$

それぞれの曲線を微分して、接線の傾きを求めます。

$y=x^3$ の導関数は $y' = 3x^2$ です。点 $x=-1$ における傾きは $3(-1)^2 = 3$ です。

$y=x^2+ax+b$ の導関数は $y'=2x+a$ です。点 $x=-1$ における傾きは $2(-1) + a = a-2$ です。

接線が一致するためには、傾きが等しくなければなりません。したがって、

$3 = a - 2$

$a = 5$

$b = a - 2 = 5 - 2 = 3$

(2)

放物線 $y=x^2-2x$ 上の点 $(t, t^2-2t)$ における接線を求めます。

$y' = 2x-2$ なので、接線の傾きは $2t-2$ です。

接線の方程式は $y-(t^2-2t) = (2t-2)(x-t)$ となり、整理すると

$y = (2t-2)x - 2t^2+2t+t^2-2t$

$y = (2t-2)x - t^2$

次に、放物線 $y=-2x^2+4x-9$ 上の点 $(s, -2s^2+4s-9)$ における接線を求めます。

$y' = -4x+4$ なので、接線の傾きは $-4s+4$ です。

接線の方程式は $y-(-2s^2+4s-9) = (-4s+4)(x-s)$ となり、整理すると

$y = (-4s+4)x + 4s^2-4s-2s^2+4s-9$

$y = (-4s+4)x + 2s^2 - 9$

これら2つの接線が一致するので、傾きと切片がそれぞれ等しくなります。

$2t-2 = -4s+4$

$-t^2 = 2s^2-9$

一つ目の式より $t = -2s+3$ です。これを二つ目の式に代入します。

$-(-2s+3)^2 = 2s^2-9$

$-(4s^2-12s+9) = 2s^2-9$

$-4s^2+12s-9 = 2s^2-9$

$6s^2-12s = 0$

$6s(s-2) = 0$

$s = 0$ または $s = 2$

$s=0$ のとき、$t = 3$ であり、接線は $y = (2(3)-2)x - 3^2 = 4x - 9$ となります。

$s=2$ のとき、$t = -1$ であり、接線は $y = (2(-1)-2)x - (-1)^2 = -4x - 1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a=5$, $b=3$

(2) $y = -4x - 1$, $y = 4x - 9$