問題は定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x - \sqrt{3} \cos x) dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

問題は定積分 $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x - \sqrt{3} \cos x) dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x$ と $\cos x$ の不定積分を求めます。

$\sin 2x$ の不定積分は $-\frac{1}{2}\cos 2x$ です。

$\cos x$ の不定積分は $\sin x$ です。

したがって、$f(x) = \sin 2x - \sqrt{3}\cos x$ の不定積分 $F(x)$ は、

$F(x) = -\frac{1}{2}\cos 2x - \sqrt{3}\sin x$ となります。

次に、定積分の定義に従い、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x - \sqrt{3} \cos x) dx = F(\frac{\pi}{2}) - F(\frac{\pi}{3})$ を計算します。

$F(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}\cos(\pi) - \sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{2}(-1) - \sqrt{3}(1) = \frac{1}{2} - \sqrt{3}$

$F(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\cos(\frac{2\pi}{3}) - \sqrt{3}\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}) - \sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = \frac{1}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{5}{4}$

したがって、

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin 2x - \sqrt{3} \cos x) dx = (\frac{1}{2} - \sqrt{3}) - (-\frac{5}{4}) = \frac{1}{2} - \sqrt{3} + \frac{5}{4} = \frac{2}{4} + \frac{5}{4} - \sqrt{3} = \frac{7}{4} - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{4} - \sqrt{3}$