次の極限を計算します。 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

1. 問題の内容

次の極限を計算します。

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x}$

2. 解き方の手順

この極限は不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ の形をしているため、ロピタルの定理を適用できます。

まず、分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x$

分母の微分：

$\frac{d}{dx}(xe^x) = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{xe^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(x+1)e^x}$

この極限も不定形 $\frac{\infty}{\infty}$ の形をしているので、再びロピタルの定理を適用します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$

分母の微分：

$\frac{d}{dx}((x+1)e^x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(x+1)e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x+2)e^x}$

$x \to \infty$ のとき、$(x+2)e^x \to \infty$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x+2)e^x} = 0$

3. 最終的な答え

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