与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた極限

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2}$

を求めます。

2. 解き方の手順

この極限は $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用します。

ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

まず、分子 $\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ です。

また、分母 $x^2$ の微分は $2x$ です。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{2x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2x^2}$

となります。

$x$ が無限大に近づくとき、$x^2$ も無限大に近づくため、$\frac{1}{2x^2}$ は 0 に近づきます。

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x^2} = 0$