関数 $y = 2\cos x - \cos^2 x$ の、$0 \le x \le 2\pi$における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = 2\cos x - \cos^2 x$ の、$0 \le x \le 2\pi$における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\cos x = t$ と置換すると、関数は $y = -t^2 + 2t$ となる。

$0 \le x \le 2\pi$ より、$-1 \le \cos x \le 1$ なので、$-1 \le t \le 1$。

次に、$y = -t^2 + 2t$ を平方完成する。

$y = -(t^2 - 2t) = -(t^2 - 2t + 1) + 1 = -(t - 1)^2 + 1$

したがって、$y = -(t - 1)^2 + 1$ となる。

$t$ の範囲が $-1 \le t \le 1$ なので、

$t = 1$ のとき、最大値 $1$ をとる。このとき、$\cos x = 1$ より、$x = 0, 2\pi$。

$t = -1$ のとき、$y = -(-1 - 1)^2 + 1 = -(-2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$。このとき、$\cos x = -1$ より、$x = \pi$。

3. 最終的な答え

最大値: $1$ ($x = 0, 2\pi$のとき)

最小値: $-3$ ($x = \pi$のとき)