## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

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5. 放物線 $y = x^2 - 2x + 4$ に原点 O から 2 本の接線を引くとき、放物線と 2 本の接線で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

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2. 解き方の手順

(1) 放物線上の点 $(t, t^2 - 2t + 4)$ における接線の方程式を求める。

$y' = 2x - 2$ より、接線の方程式は

$y - (t^2 - 2t + 4) = (2t - 2)(x - t)$

整理すると、

$y = (2t - 2)x - t^2 + 4$

(2) この接線が原点を通る条件を求める。

原点 $(0, 0)$ を代入すると、

$0 = (2t - 2) \cdot 0 - t^2 + 4$

$t^2 = 4$

$t = \pm 2$

(3) 2 本の接線の方程式を求める。

$t = 2$ のとき、接線は $y = 2x$.

$t = -2$ のとき、接線は $y = -6x - 8$.

(4) 交点を求める。

$x^2 - 2x + 4 = 2x$ より、

$x^2 - 4x + 4 = 0$

$(x - 2)^2 = 0$

$x = 2$.

$x^2 - 2x + 4 = -6x - 8$ より、

$x^2 + 4x + 12 = 0$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 48}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-32}}{2}$

実数解を持たない。

(5) 囲まれた部分の面積を求める。

求める面積は、

$\int_{-2}^{0} \{(x^2 - 2x + 4) - (-6x - 8)\} dx + \int_{0}^{2} \{(x^2 - 2x + 4) - (2x)\} dx$

$= \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 12) dx + \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 12x]_{-2}^{0} + [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x]_{0}^{2}$

$= 0 - (\frac{-8}{3} + 8 - 24) + (\frac{8}{3} - 8 + 8) - 0$

$= \frac{8}{3} - 8 + 24 + \frac{8}{3}$

$= \frac{16}{3} + 16$

$= \frac{16 + 48}{3}$

$= \frac{64}{3}$

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3. 最終的な答え

$\frac{64}{3}$