(1) 数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ で定義されるとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$ を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = \frac{1}{3}a_n - n$ で与えられるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 2$ および漸化式 $a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ で定義されるとき、極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n}$ を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が、$S_n = \frac{1}{3}a_n - n$ で与えられるとき、$\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$a_{n+1} = 3a_n + 2^{n+1}$ の両辺を $3^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{3a_n}{3^{n+1}} + \frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{a_n}{3^n} + (\frac{2}{3})^{n+1}$

ここで、$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ とおくと、$b_{n+1} = b_n + (\frac{2}{3})^{n+1}$ となる。

これは、$b_n$ が階差数列 $(\frac{2}{3})^{n+1}$ を持つことを意味する。

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{2}{3})^{k+1}$

$b_1 = \frac{a_1}{3^1} = \frac{2}{3}$ であるから、

$b_n = \frac{2}{3} + \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{2}{3})^{k+1} = \frac{2}{3} + \sum_{k=2}^{n} (\frac{2}{3})^{k}$

等比数列の和の公式より、

$\sum_{k=2}^{n} (\frac{2}{3})^{k} = \frac{(\frac{2}{3})^2 \{1 - (\frac{2}{3})^{n-1}\}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{\frac{4}{9} \{1 - (\frac{2}{3})^{n-1}\}}{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3} \{1 - (\frac{2}{3})^{n-1}\}$

したがって、

$b_n = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} \{1 - (\frac{2}{3})^{n-1}\} = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{3})^{n-1} = 2 - \frac{4}{3} (\frac{2}{3})^{n-1}$

$\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} \{2 - \frac{4}{3} (\frac{2}{3})^{n-1}\} = 2$

よって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n} = 2$

(2)

$S_n = \frac{1}{3}a_n - n$ より、$a_n = S_n - S_{n-1} = (\frac{1}{3}a_n - n) - (\frac{1}{3}a_{n-1} - (n-1)) = \frac{1}{3}a_n - \frac{1}{3}a_{n-1} - 1$ $(n \geq 2)$

$\frac{2}{3}a_n = -\frac{1}{3}a_{n-1} - 1$

$2a_n = -a_{n-1} - 3$

$2a_n + a_{n-1} = -3$

特性方程式 $2x+x=-3$ より、$3x=-3$, $x=-1$

$2(a_n + 1) = -(a_{n-1}+1)$

$a_n + 1 = (a_1 + 1)(-\frac{1}{2})^{n-1}$

$a_1 = S_1 = \frac{1}{3}a_1 - 1$, $\frac{2}{3}a_1 = -1$, $a_1 = -\frac{3}{2}$

$a_n + 1 = (-\frac{3}{2} + 1)(-\frac{1}{2})^{n-1} = (-\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})^{n-1} = (-\frac{1}{2})^n$

$a_n = (-\frac{1}{2})^n - 1$

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \{ (-\frac{1}{2})^n - 1 \} = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{3^n} = 2$

(2) $\lim_{n \to \infty} a_n = -1$