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与えられた5つの極限値を、ロピタルの定理を用いて求める。 a) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$ c) $\lim_{x \to +0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ d) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$ e) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$

解析学極限ロピタルの定理不定形
2025/7/15

1. 問題の内容

与えられた5つの極限値を、ロピタルの定理を用いて求める。
a) lim⁡x→1x11−x\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}
b) lim⁡x→∞xex\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}
c) lim⁡x→+0(1+x)1x\lim_{x \to +0} (1+x)^{\frac{1}{x}}
d) lim⁡x→∞(log⁡x)2x\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}
e) lim⁡x→0(1x−1sin⁡x)\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})

2. 解き方の手順

a) y=x11−xy = x^{\frac{1}{1-x}}とおくと、log⁡y=11−xlog⁡x\log y = \frac{1}{1-x} \log x
lim⁡x→1log⁡y=lim⁡x→1log⁡x1−x\lim_{x \to 1} \log y = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1-x}
これは00\frac{0}{0}の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。
lim⁡x→11x−1=lim⁡x→1−1x=−1\lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x} = -1
よって、lim⁡x→1log⁡y=−1\lim_{x \to 1} \log y = -1
したがって、lim⁡x→1y=e−1=1e\lim_{x \to 1} y = e^{-1} = \frac{1}{e}
b) lim⁡x→∞xex\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}
これは∞∞\frac{\infty}{\infty}の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。
lim⁡x→∞1ex=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0
c) y=(1+x)1xy = (1+x)^{\frac{1}{x}}とおくと、log⁡y=1xlog⁡(1+x)\log y = \frac{1}{x} \log (1+x)
lim⁡x→+0log⁡y=lim⁡x→+0log⁡(1+x)x\lim_{x \to +0} \log y = \lim_{x \to +0} \frac{\log (1+x)}{x}
これは00\frac{0}{0}の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。
lim⁡x→+011+x1=lim⁡x→+011+x=1\lim_{x \to +0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to +0} \frac{1}{1+x} = 1
よって、lim⁡x→+0log⁡y=1\lim_{x \to +0} \log y = 1
したがって、lim⁡x→+0y=e1=e\lim_{x \to +0} y = e^1 = e
d) lim⁡x→∞(log⁡x)2x\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}
これは∞∞\frac{\infty}{\infty}の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。
lim⁡x→∞2log⁡x⋅1x1=lim⁡x→∞2log⁡xx\lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x}{x}
これは∞∞\frac{\infty}{\infty}の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。
lim⁡x→∞2x1=lim⁡x→∞2x=0\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0
e) lim⁡x→0(1x−1sin⁡x)=lim⁡x→0sin⁡x−xxsin⁡x\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x}) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x \sin x}
これは00\frac{0}{0}の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。
lim⁡x→0cos⁡x−1sin⁡x+xcos⁡x\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x}
これは00\frac{0}{0}の不定形なので、ロピタルの定理を適用する。
lim⁡x→0−sin⁡xcos⁡x+cos⁡x−xsin⁡x=lim⁡x→0−sin⁡x2cos⁡x−xsin⁡x=02=0\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2 \cos x - x \sin x} = \frac{0}{2} = 0

3. 最終的な答え

a) 1e\frac{1}{e}
b) 00
c) ee
d) 00
e) 00

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