与えられた定積分 $S = \int_{-1}^{2e} e^{\frac{y}{e}} dy$ を計算せよ。

解析学定積分置換積分指数関数
2025/7/15

1. 問題の内容

与えられた定積分 S=12eeyedyS = \int_{-1}^{2e} e^{\frac{y}{e}} dy を計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、u=yeu = \frac{y}{e} と置換する。すると、du=1edydu = \frac{1}{e} dy となり、dy=edudy = e du となる。
積分範囲も変更する必要がある。
y=1y = -1 のとき、u=1e=1eu = \frac{-1}{e} = -\frac{1}{e} となる。
y=2ey = 2e のとき、u=2ee=2u = \frac{2e}{e} = 2 となる。
したがって、積分は次のように書き換えられる。
S=1e2euedu=e1e2euduS = \int_{-\frac{1}{e}}^{2} e^u \cdot e du = e \int_{-\frac{1}{e}}^{2} e^u du
eue^u の積分は eue^u であるから、
S=e[eu]1e2=e(e2e1e)=e3e11eS = e [e^u]_{-\frac{1}{e}}^2 = e(e^2 - e^{-\frac{1}{e}}) = e^3 - e^{1 - \frac{1}{e}}

3. 最終的な答え

S=e3e11eS = e^3 - e^{1 - \frac{1}{e}}

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