与えられた定積分 $S = \int_{-1}^{2e} e^{\frac{y}{e}} dy$ を計算せよ。解析学定積分置換積分指数関数2025/7/151. 問題の内容与えられた定積分 S=∫−12eeyedyS = \int_{-1}^{2e} e^{\frac{y}{e}} dyS=∫−12eeeydy を計算せよ。2. 解き方の手順まず、u=yeu = \frac{y}{e}u=ey と置換する。すると、du=1edydu = \frac{1}{e} dydu=e1dy となり、dy=edudy = e dudy=edu となる。積分範囲も変更する必要がある。y=−1y = -1y=−1 のとき、u=−1e=−1eu = \frac{-1}{e} = -\frac{1}{e}u=e−1=−e1 となる。y=2ey = 2ey=2e のとき、u=2ee=2u = \frac{2e}{e} = 2u=e2e=2 となる。したがって、積分は次のように書き換えられる。S=∫−1e2eu⋅edu=e∫−1e2euduS = \int_{-\frac{1}{e}}^{2} e^u \cdot e du = e \int_{-\frac{1}{e}}^{2} e^u duS=∫−e12eu⋅edu=e∫−e12eudueue^ueu の積分は eue^ueu であるから、S=e[eu]−1e2=e(e2−e−1e)=e3−e1−1eS = e [e^u]_{-\frac{1}{e}}^2 = e(e^2 - e^{-\frac{1}{e}}) = e^3 - e^{1 - \frac{1}{e}}S=e[eu]−e12=e(e2−e−e1)=e3−e1−e13. 最終的な答えS=e3−e1−1eS = e^3 - e^{1 - \frac{1}{e}}S=e3−e1−e1