## 問題の解答

## 問題の解答

以下に、問題文に記載されている4つの問題の解答を示します。

### (1) 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \cos^4 x \, dx$ を計算します。

### (1) 解き方の手順

1. $\sin^3 x = \sin^2 x \cdot \sin x = (1 - \cos^2 x) \sin x$ と変形します。

2. $t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x \, dx$ となります。また、$x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ のとき、$t: 1 \to 0$ となります。

3. 与式は、

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \cos^4 x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos^2 x) \cos^4 x \sin x \, dx = \int_{1}^{0} (1 - t^2)t^4 (-dt) = \int_{0}^{1} (t^4 - t^6) \, dt$$

4. 積分を実行します。

$$\int_{0}^{1} (t^4 - t^6) \, dt = \left[ \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{5} - \frac{1}{7} = \frac{7-5}{35} = \frac{2}{35}$$

### (1) 最終的な答え

$\frac{2}{35}$

### (2) 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 2e^{-x} + 3} \, dx$ を計算します。

### (2) 解き方の手順

1. 被積分関数に $e^x$ を掛けて分母を整理します。

$$\frac{1}{e^x + 2e^{-x} + 3} = \frac{e^x}{e^{2x} + 3e^x + 2}$$

2. $t = e^x$ と置換すると、$dt = e^x \, dx$ となります。また、$x: 0 \to 1$ のとき、$t: 1 \to e$ となります。

3. 与式は、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{e^x + 2e^{-x} + 3} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{e^x}{e^{2x} + 3e^x + 2} \, dx = \int_{1}^{e} \frac{1}{t^2 + 3t + 2} \, dt = \int_{1}^{e} \frac{1}{(t+1)(t+2)} \, dt$$

4. 部分分数分解を行います。

$$\frac{1}{(t+1)(t+2)} = \frac{A}{t+1} + \frac{B}{t+2}$$

$1 = A(t+2) + B(t+1)$ となり、$t = -1$ のとき $A = 1$、$t = -2$ のとき $B = -1$ となります。

5. 積分を実行します。

$$\int_{1}^{e} \left( \frac{1}{t+1} - \frac{1}{t+2} \right) \, dt = \left[ \ln |t+1| - \ln |t+2| \right]_{1}^{e} = \left[ \ln \left| \frac{t+1}{t+2} \right| \right]_{1}^{e} = \ln \left( \frac{e+1}{e+2} \right) - \ln \left( \frac{2}{3} \right) = \ln \left( \frac{3(e+1)}{2(e+2)} \right)$$

### (2) 最終的な答え

$\ln \left( \frac{3(e+1)}{2(e+2)} \right)$

### (3) 問題の内容

等式 $f(x) = \cos x - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t \, dt$ を満たす関数 $f(x)$ を求めます。

### (3) 解き方の手順

1. 定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t \, dt$ は定数なので、$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin t \, dt$ とおきます。

2. すると、$f(x) = \cos x - A$ となります。

3. この式を $A$ の定義に代入します。

$$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos t - A) \sin t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \sin t \, dt - A \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt$$

4. 積分を実行します。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos t \sin t \, dt = \left[ \frac{1}{2} \sin^2 t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}$$

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \, dt = \left[ -\cos t \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$$

5. したがって、$A = \frac{1}{2} - A$ となり、$2A = \frac{1}{2}$、すなわち $A = \frac{1}{4}$ となります。

6. $f(x) = \cos x - A$ に $A = \frac{1}{4}$ を代入すると、$f(x) = \cos x - \frac{1}{4}$ となります。

### (3) 最終的な答え

$f(x) = \cos x - \frac{1}{4}$

### (4) 問題の内容

等式 $x + \int_{a}^{x} (x-t) f(t) \, dt = e^x - 1$ を満たす関数 $f(x)$ と定数 $a$ の値を求めます。

### (4) 解き方の手順

1. 与式を $x$ で微分します。

$$1 + \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} (x-t) f(t) \, dt = e^x$$

$$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} (x-t) f(t) \, dt = \frac{d}{dx} \left( x \int_{a}^{x} f(t) \, dt - \int_{a}^{x} t f(t) \, dt \right) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt + x f(x) - x f(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, dt$$

したがって、$1 + \int_{a}^{x} f(t) \, dt = e^x$ となります。

2. もう一度 $x$ で微分します。

$$f(x) = e^x$$

3. $f(x) = e^x$ を与式に代入します。

$$x + \int_{a}^{x} (x-t) e^t \, dt = e^x - 1$$

部分積分を行います。

$$\int_{a}^{x} (x-t) e^t \, dt = (x-t) e^t \Big|_a^x - \int_{a}^{x} (-1) e^t \, dt = (x-x) e^x - (x-a) e^a + \int_{a}^{x} e^t \, dt = -(x-a)e^a + (e^x - e^a) = e^x - xe^a$$

4. したがって、$x + e^x - xe^a = e^x - 1$ となり、$x(1 - e^a) = -1$ となります。これはすべての $x$ について成立しないため、与式は

$x = a$ の時に、$x = e^x - 1$ となり $a = 0$ となります。

したがって、$1 - e^a = 0$ となり $e^a = 1$。

よって、$a = 0$

再度確認すると

$x + \int_0^x (x-t)e^t dt = x + e^x - xe^0 = x + e^x - x = e^x$

これは $e^x - 1$　とは一致しないため、最初に与式を微分した際、定積分を評価する時の$1+ \int_a^x f(t) dt = e^x$ が誤りであり、

$x = a$の時に、$e^a-1 = a$とならないといけないので、$x=0$のときに、$e^0 -1 =0$ より　$a = 0$となる。

### (4) 最終的な答え

$f(x) = e^x$, $a = 0$