## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題2：時刻 $t$ における物体の $x$ 座標が $x(t) = 2\cos(3t)$ で与えられるとき、物体の速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$、初期位置 $x(0)$、初期速度 $v(0)$ を求めよ。

問題3：時刻 $t$ における速度 $v(t)$ が以下の通り与えられるとき、位置 $x(t)$ を求めよ。ただし、$t=0$ における初期位置は $x=0$ とする。

(1) $v(t) = 4t$

(2) $v(t) = \sin(2t)$

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2. 解き方の手順

**問題2**

* 速度 $v(t)$ を求める：速度は位置の時間微分であるため、$x(t)$ を時間 $t$ で微分する。

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(2\cos(3t)) = -6\sin(3t)$

* 加速度 $a(t)$ を求める：加速度は速度の時間微分であるため、$v(t)$ を時間 $t$ で微分する。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(-6\sin(3t)) = -18\cos(3t)$

* 初期位置 $x(0)$ を求める：$x(t)$ に $t=0$ を代入する。

$x(0) = 2\cos(3 \cdot 0) = 2\cos(0) = 2$

* 初期速度 $v(0)$ を求める：$v(t)$ に $t=0$ を代入する。

$v(0) = -6\sin(3 \cdot 0) = -6\sin(0) = 0$

**問題3**

* 位置 $x(t)$ を求める：位置は速度の時間積分であるため、$v(t)$ を時間 $t$ で積分する。積分定数は初期位置の条件から決定する。

(1) $v(t) = 4t$ の場合

$x(t) = \int v(t) dt = \int 4t dt = 2t^2 + C$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$0 = 2(0)^2 + C$ なので、$C = 0$。

したがって、$x(t) = 2t^2$

(2) $v(t) = \sin(2t)$ の場合

$x(t) = \int v(t) dt = \int \sin(2t) dt = -\frac{1}{2}\cos(2t) + C$

初期条件 $x(0) = 0$ より、$0 = -\frac{1}{2}\cos(2 \cdot 0) + C = -\frac{1}{2}\cos(0) + C = -\frac{1}{2} + C$ なので、$C = \frac{1}{2}$。

したがって、$x(t) = -\frac{1}{2}\cos(2t) + \frac{1}{2}$

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3. 最終的な答え

**問題2**

* 速度: $v(t) = -6\sin(3t)$

* 加速度: $a(t) = -18\cos(3t)$

* 初期位置: $x(0) = 2$

* 初期速度: $v(0) = 0$

**問題3**

* (1) $x(t) = 2t^2$

* (2) $x(t) = -\frac{1}{2}\cos(2t) + \frac{1}{2}$