(1) 等比数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \sqrt{3} - 1$, $a_2 = 4 - 2\sqrt{3}$ を満たすとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。 (2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n = n^3 + 3n^2 + 2n$ であるとき、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 等比数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = \sqrt{3} - 1$, $a_2 = 4 - 2\sqrt{3}$ を満たすとき、無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ の和を求めよ。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和が $S_n = n^3 + 3n^2 + 2n$ であるとき、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、等比数列の公比 $r$ を求める。

$r = \frac{a_2}{a_1} = \frac{4-2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(2-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(2\sqrt{3}+2-3-\sqrt{3})}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$

無限級数の和が収束するための条件は $|r| < 1$ である。

$|r| = |\sqrt{3}-1| = \sqrt{3}-1 \approx 1.732-1 = 0.732 < 1$ なので、収束する。

無限級数の和は $\frac{a_1}{1-r} = \frac{\sqrt{3}-1}{1-(\sqrt{3}-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{2-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3}-1)(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})} = \frac{2\sqrt{3}+3-2-\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{3}+1$

(2)

$a_n = S_n - S_{n-1}$ であり、$S_n = n^3 + 3n^2 + 2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2)$ である。

$S_0=0$とすると、上記の式は $n=1$ でも成り立つ。

したがって、$a_n = S_n - S_{n-1} = n(n+1)(n+2) - (n-1)n(n+1) = n(n+1)[(n+2)-(n-1)] = n(n+1)(3) = 3n(n+1)$

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3n(n+1)} = \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{3} \sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

これはtelescoping sumなので、

$\frac{1}{3} \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{N} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = \frac{1}{3} \lim_{N\to\infty} (1 - \frac{1}{N+1}) = \frac{1}{3} (1-0) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3} + 1$

(2) $\frac{1}{3}$