$\lim_{x\to\infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to\infty} \log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}}$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を使って式を整理します。

$\log(1 + e^x)^{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x} \log(1 + e^x)$

次に、$\frac{1}{x}$を掛け算の形にします。

$\lim_{x\to\infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x}$

$x \to \infty$のとき、$\log(1 + e^x) \to \infty$であり、$x \to \infty$であるから、不定形$\frac{\infty}{\infty}$の形になります。

そこで、ロピタルの定理を適用します。

$\frac{d}{dx} \log(1 + e^x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$

$\frac{d}{dx} x = 1$

したがって、

$\lim_{x\to\infty} \frac{\log(1 + e^x)}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{e^x}{1 + e^x}}{1} = \lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{1 + e^x}$

さらに、分子と分母を$e^x$で割ります。

$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{1 + e^x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{e^x} \to 0$なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{1}{\frac{1}{e^x} + 1} = \frac{1}{0 + 1} = 1$

3. 最終的な答え

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