## 問題の解答

## 問題の解答

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1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = \log x - x$ を $x = 1$ の周りで2次までテイラー展開せよ。

(2) 2変数関数 $f(x, y) = \log x + 3\log y + x - y - 2xy$ の停留点を見つけ、その臨界性（極値か、鞍点か？）を判定せよ。

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2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x) = \log x - x$ のテイラー展開

* テイラー展開の公式：

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots$

* $x = 1$ の周りでの展開なので、$a = 1$ とする。

* $f(x)$ の導関数を求める：

$f(x) = \log x - x$

$f'(x) = \frac{1}{x} - 1$

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

* $x = 1$ での値を求める：

$f(1) = \log 1 - 1 = 0 - 1 = -1$

$f'(1) = \frac{1}{1} - 1 = 1 - 1 = 0$

$f''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

* テイラー展開の公式に代入して、2次までの項を求める：

$f(x) \approx -1 + 0(x-1) + \frac{-1}{2}(x-1)^2$

$f(x) \approx -1 - \frac{1}{2}(x-1)^2$

(2) 2変数関数 $f(x, y) = \log x + 3\log y + x - y - 2xy$ の停留点の探索と判定

* 偏導関数を求める：

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x} + 1 - 2y$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{3}{y} - 1 - 2x$

* 停留点を見つける：$f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を満たす $(x, y)$ を求める。

$\frac{1}{x} + 1 - 2y = 0 \Rightarrow 2y = \frac{1}{x} + 1$

$\frac{3}{y} - 1 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = \frac{3}{y} - 1$

$y = \frac{1}{2}(\frac{1}{x} + 1)$ を $2x = \frac{3}{y} - 1$ に代入する。

$2x = \frac{3}{\frac{1}{2}(\frac{1}{x} + 1)} - 1$

$2x = \frac{6}{\frac{1}{x} + 1} - 1$

$2x + 1 = \frac{6}{\frac{1}{x} + 1}$

$(2x + 1)(\frac{1}{x} + 1) = 6$

$\frac{2x}{x} + 2x + \frac{1}{x} + 1 = 6$

$2 + 2x + \frac{1}{x} + 1 = 6$

$2x + \frac{1}{x} - 3 = 0$

$2x^2 - 3x + 1 = 0$

$(2x - 1)(x - 1) = 0$

$x = \frac{1}{2}, 1$

$x = \frac{1}{2}$ のとき、$y = \frac{1}{2}(\frac{1}{\frac{1}{2}} + 1) = \frac{1}{2}(2 + 1) = \frac{3}{2}$

$x = 1$ のとき、$y = \frac{1}{2}(\frac{1}{1} + 1) = \frac{1}{2}(1 + 1) = 1$

よって、停留点は $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ と $(1, 1)$ である。

* ヘッセ行列を求める：

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -\frac{1}{x^2}$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -\frac{3}{y^2}$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -2$

ヘッセ行列：

$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{x^2} & -2 \\ -2 & -\frac{3}{y^2} \end{pmatrix}$

* 判別式 $D$ を計算する：

$D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-\frac{1}{x^2})(-\frac{3}{y^2}) - (-2)^2 = \frac{3}{x^2y^2} - 4$

* 各停留点について、判別式 $D$ と $f_{xx}$ の符号を調べる：

* $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ のとき：

$D = \frac{3}{(\frac{1}{2})^2(\frac{3}{2})^2} - 4 = \frac{3}{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{4}} - 4 = \frac{3}{\frac{9}{16}} - 4 = \frac{3 \cdot 16}{9} - 4 = \frac{16}{3} - 4 = \frac{16 - 12}{3} = \frac{4}{3} > 0$

$f_{xx} = -\frac{1}{(\frac{1}{2})^2} = -4 < 0$

したがって、$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ は極大値をとる。

* $(1, 1)$ のとき：

$D = \frac{3}{1^2 \cdot 1^2} - 4 = 3 - 4 = -1 < 0$

したがって、$(1, 1)$ は鞍点である。

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3. 最終的な答え

(1) $f(x) \approx -1 - \frac{1}{2}(x-1)^2$

(2) 停留点は $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ (極大値) と $(1, 1)$ (鞍点) である。