以下の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}}$ (3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}{n^4}$

1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}{n^4}$

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2}$ の形は不定形なので、有理化します。

$\frac{(\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})(\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2})}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}} = \frac{(n^2 + 3n + 2) - (n^2 - 3n + 2)}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}} = \frac{6n}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}}$

分母分子を $n$ で割ります。

$\frac{6}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$、$\frac{2}{n^2} \to 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}} = \frac{6}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{6}{2} = 3$

(2)

$\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{4^{n+3} + 3^{n+2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3^{n-1}}{4^{n}} - 4}{\frac{4^{n+3}}{4^{n}} + \frac{3^{n+2}}{4^{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3}(\frac{3}{4})^n - 4}{4^3 + 9(\frac{3}{4})^n}$

$\lim_{n \to \infty} (\frac{3}{4})^n = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3}(\frac{3}{4})^n - 4}{64 + 9(\frac{3}{4})^n} = \frac{0 - 4}{64 + 0} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16}$

(3)

$\lim_{n \to \infty} \frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + \cdots + n^3}{n^4}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n^2 + 2n + 1)}{4} = \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4}}{n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4 + 2n^3 + n^2}{4n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{4} = \frac{1 + 0 + 0}{4} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $-\frac{1}{16}$

(3) $\frac{1}{4}$